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偏导数

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偏导数定义为多元函数对其中一个变量求导时，将其他变量视为常数的导数。

(partialf)/(partialx_m)=lim_(h->0)(f(x_1,...,x_m+h,...,x_n)-f(x_1,...,x_m,...,x_n))/h.
(1)

上述偏导数有时为了简洁会表示为 f_(x_m)。

偏导数也可以对多个变量求导，例如表示为

(partial^2f)/(partialx^2)=f_(xx)
(2)
(partial^2f)/(partialxpartialy)=f_(xy)
(3)
(partial^3f)/(partialx^2partialy)=f_(xxy).
(4)

涉及多个变量的偏导数被称为混合偏导数。

对于“良好”的二维函数 f(x,y) (即，对于 f, f_x, f_y, f_(xy), f_(yx) 存在且在邻域 (a,b) 内连续的函数), 那么

f_(xy)(a,b)=f_(yx)(a,b).
(5)

更一般地，对于“良好”的函数，混合偏导数必然相等，与求导顺序无关，因此下式成立

f_(xxy)=f_(xyx)=f_(yxx).
(6)
PartialDerivative

如果混合偏导数的连续性要求被去除，则有可能构造出混合偏导数不相等的函数。一个例子是函数

f(x,y)={(xy(x^2-y^2))/(x^2+y^2) for (x,y)!=(0,0); 0 for (x,y)=(0,0),
(7)

该函数具有 f_(xy)(0,0)=-1 和 f_(yx)(0,0)=1 (Wagon 1991)。上方和 Fischer (1986) 描述了该函数。

Abramowitz 和 Stegun (1972) 给出了偏导数的有限差分形式。

用偏导数表示一个或多个量的微分方程称为偏微分方程。偏微分方程在物理学和工程学中极其重要，并且通常难以求解。

另请参阅

Ablowitz-Ramani-Segur 猜想, 导数, 全微分, 混合偏导数, 猴鞍面, 多元微积分, 偏微分方程 在 MathWorld 课堂中探索这个主题

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参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 版 New York: Dover, pp. 883-885, 1972.Fischer, G. (Ed.). Plate 121 in 大学和博物馆藏品中的数学模型，图册 Braunschweig, Germany: Vieweg, p. 118, 1986.Thomas, G. B. and Finney, R. L. §16.8 in 微积分与解析几何，第 9 版 Reading, MA: Addison-Wesley, 1996.Wagon, S. Mathematica 实践 New York: W. H. Freeman, pp. 83-85, 1991.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

偏导数

引用为

Weisstein, Eric W. "偏导数。" 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/PartialDerivative.html

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