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欧拉微分方程

一般的非齐次微分方程由下式给出

x^2(d^2y)/(dx^2)+alphax(dy)/(dx)+betay=S(x),
(1)

齐次方程为

x^2y^('')+alphaxy^'+betay=0
(2)
y^('')+alpha/xy^'+beta/(x^2)y=0.
(3)

现在尝试将方程从

y^('')+p(x)y^'+q(x)y=0
(4)

转换为常系数方程

(d^2y)/(dz^2)+A(dy)/(dz)+By=0
(5)

通过使用线性二阶常微分方程的标准变换。比较 (3) 和 (5)，函数 p(x) 和 q(x) 是

p(x)=alpha/x=alphax^(-1)
(6)
q(x)=beta/(x^2)=betax^(-2).
(7)

令 B=beta 并定义

z=B^(-1/2)intsqrt(q(x))dx
(8)
=beta^(-1/2)intsqrt(betax^(-2))dx
(9)
=intx^(-1)dx
(10)
=lnx.
(11)

那么 A 由下式给出

A=(q^'(x)+2p(x)q(x))/(2[q(x)]^(3/2))B^(1/2)
(12)
=(-2betax^(-3)+2(alphax^(-1))(betax^(-2)))/(2(betax^(-2))^(3/2))beta^(1/2)
(13)
=alpha-1,
(14)

这是一个常数。因此，该方程变为具有常系数的二阶常微分方程

(d^2y)/(dz^2)+(alpha-1)(dy)/(dz)+betay=0.
(15)

定义

r_1=1/2(-A+sqrt(A^2-4B))
(16)
=1/2[1-alpha+sqrt((alpha-1)^2-4beta)]
(17)
r_2=1/2(-A-sqrt(A^2-4B))
(18)
=1/2[1-alpha-sqrt((alpha-1)^2-4beta)]
(19)

和

a=1/2(1-alpha)
(20)
b=1/2sqrt(4beta-(alpha-1)^2).
(21)

解是

y={c_1e^(r_1z)+c_2e^(r_2z) (alpha-1)^2>4beta; (c_1+c_2z)e^(az) (alpha-1)^2=4beta; e^(az)[c_1cos(bz)+c_2sin(bz)] (alpha-1)^2<4beta.
(22)

用原始变量 x 表示，

y={c_1|x|^(r_1)+c_2|x|^(r_2) (alpha-1)^2>4beta; (c_1+c_2ln|x|)|x|^a (alpha-1)^2=4beta; |x|^a[c_1cos(bln|x|)+c_2sin(bln|x|)] (alpha-1)^2<4beta.
(23)

Zwillinger (1997, p. 120) 给出了另外两种类型的方程，也称为欧拉微分方程，

y^'=+/-sqrt((ay^4+by^3+cy^2+dy+e)/(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e))
(24)

(Valiron 1950, p. 201) 和

y^'+y^2=alphax^m
(25)

(Valiron 1950, p. 212)，后者可以用贝塞尔函数求解。

另请参阅

欧拉无粘性运动方程

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Valiron, G. The Geometric Theory of Ordinary Differential Equations and Algebraic Functions. Brookline, MA: Math. Sci. Press, 1950.Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, p. 120, 1997.

在 Wolfram|Alpha 中引用

欧拉微分方程

请这样引用

Weisstein, Eric W. "Euler Differential Equation." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源. https://mathworld.net.cn/EulerDifferentialEquation.html

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