Lane-Emden 微分方程 -- 来自 Wolfram MathWorld

Lane-Emden 微分方程

Lane-Emden 微分方程是一个二阶常微分方程，产生于恒星内部结构的研究，也称为多方气体微分方程。其表达式为：

(1)

(2)

(Zwillinger 1997, pp. 124 and 126)。它具有以下边界条件：

			(3)
			(4)

上方展示了对于、1、2、3 和 4 的解。、1 和 5 的情况可以解析求解（Chandrasekhar 1967, p. 91）；其他情况必须通过数值方法获得解。

对于 ()，Lane-Emden 微分方程为：

(5)

(Chandrasekhar 1967, pp. 91-92)。直接求解得到：

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

边界条件给出和，因此：

(12)

并且是抛物线。

对于 ()，微分方程变为：

(13)

(14)

(15)

其中且，因此解为：

(16)

应用边界条件得到：

(17)

其中是第一类球贝塞尔函数（Chandrasekhar 1967, p. 92）。

对于，进行 Emden 变换：

			(18)
			(19)

这会将 Lane-Emden 方程简化为：

(20)

(Chandrasekhar 1967, p. 90)。经过进一步的推导（此处未重现），方程变为：

(21)

然后，最终得到：

(22)

参考文献

Chandrasekhar, S. 恒星结构研究导论。 New York: Dover, pp. 84-182, 1967.

Iyanaga, S. and Kawada, Y. (Eds.). 数学百科词典。 Cambridge, MA: MIT Press, p. 908, 1980.

Seshadri, R. and Na, T. Y. 工程边值问题中的群不变性。 New York: Springer-Verlag, p. 193, 1985.

Zwillinger, D. 微分方程手册，第 3 版。 Boston, MA: Academic Press, pp. 124 and 126, 1997.

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