参数变易法 -- 来自 Wolfram MathWorld

参数变易法

(1)

假设线性独立解和已知齐次方程

(2)

并寻求和使得

			(3)
			(4)

现在，施加附加条件

(5)

因此

			(6)
			(7)

将、和代回原方程以获得

(8)

简化为

(9)

结合方程 (◇) 和 (9) 并同时求解和，然后得到

			(10)
			(11)

其中

(12)

是朗斯基行列式，它是仅的函数，因此可以直接积分得到

			(13)
			(14)

可以代入以给出特解

(15)

推广到阶 ODE，设 , ..., 为齐次 ODE 的解，并选择 , ..., 使得

${y_1v_1^'+y_2v_2^'+...+y_nv_n^'=0; y_1^'v_1^'+y_2^'v_2^'+...+y_n^'v_n^'=0; |; y_1^((n-1))v_1^'+y_2^((n-1))v_2^'+...+y_n^((n-1))v_n^'=g(x).$

(16)

则特解为

(17)

参数变易法