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艾里微分方程

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一些作者将广义艾里微分方程定义为

y^('')+/-k^2xy=0.
(1)

这个方程可以通过级数解法，使用以下展开式求解

y=sum_(n=0)^(infty)a_nx^n
(2)
y^'=sum_(n=0)^(infty)na_nx^(n-1)
(3)
=sum_(n=1)^(infty)na_nx^(n-1)
(4)
=sum_(n=0)^(infty)(n+1)a_(n+1)x^n
(5)
y^('')=sum_(n=0)^(infty)(n+1)na_(n+1)x^(n-1)
(6)
=sum_(n=1)^(infty)(n+1)na_(n+1)x^(n-1)
(7)
=sum_(n=0)^(infty)(n+2)(n+1)a_(n+2)x^n.
(8)

通过取负号并设置 k^2=1，可以得到“传统”艾里微分方程。然后将 (8) 代入

y^('')-xy=0
(9)

得到

sum_(n=0)^infty(n+2)(n+1)a_(n+2)x^n-xsum_(n=0)^inftya_nx^n=0
(10)
sum_(n=0)^infty(n+2)(n+1)a_(n+2)x^n-sum_(n=0)^inftya_nx^(n+1)=0
(11)
2a_2+sum_(n=1)^infty(n+2)(n+1)a_(n+2)x^n-sum_(n=1)^inftya_(n-1)x^n=0
(12)
2a_2+sum_(n=1)^infty[(n+2)(n+1)a_(n+2)-a_(n-1)]x^n=0.
(13)

为了使这个等式对所有 x 都成立，每一项必须单独为 0。因此，

a_2=0
(14)
(n+2)(n+1)a_(n+2)=a_(n-1).
(15)

从 n=3 项开始，并使用上述递推关系，我们得到

5·4a_5=20a_5=a_2=0.
(16)

继续，通过归纳法可以得出

a_2=a_5=a_8=a_(11)=...a_(3n-1)=0
(17)

对于 n=1, 2, .... 现在检查 a_(3n) 形式的项。

a_3=(a_0)/(3·2)
(18)
a_6=(a_3)/(6·5)=(a_0)/((6·5)(3·2))
(19)
a_9=(a_6)/(9·8)=(a_0)/((9·8)(6·5)(3·2)).
(20)

再次通过归纳法，

a_(3n)=(a_0)/([(3n)(3n-1)][(3n-3)(3n-4)]...[6·5][3·2])
(21)

对于 n=1, 2, .... 最后，查看 a_(3n+1) 形式的项，

a_4=(a_1)/(4·3)
(22)
a_7=(a_4)/(7·6)=(a_1)/((7·6)(4·3))
(23)
a_(10)=(a_7)/(10·9)=(a_1)/((10·9)(7·6)(4·3)).
(24)

通过归纳法，

a_(3n+1)=(a_1)/([(3n+1)(3n)][(3n-2)(3n-3)]...[7·6][4·3])
(25)

对于 n=1, 2, .... 因此，通解为

y=a_0[1+sum_(n=1)^infty(x^(3n))/((3n)(3n-1)(3n-3)(3n-4)...3·2)] +a_1[x+sum_(n=1)^infty(x^(3n+1))/((3n+1)(3n)(3n-2)(3n-3)...4·3)].
(26)

对于带有负号的广义 k^2，方程 (◇) 为

y^('')-k^2xy=0,
(27)

解为

y(x)=1/3sqrt(x)[AI_(-1/3)(2/3kx^(3/2))-BI_(1/3)(2/3kx^(3/2))],
(28)

其中 I 是第一类修正贝塞尔函数。这通常用艾里函数 Ai(x) 和 Bi(x) 表示。

y(x)=A^'Ai(k^(2/3)x)+B^'Bi(k^(2/3)x).
(29)

如果存在加号，则

y^('')+k^2xy=0
(30)

解为

y(x)=1/3sqrt(x)[AJ_(-1/3)(2/3kx^(3/2))+BJ_(1/3)(2/3kx^(3/2))],
(31)

其中 J(z) 是第一类贝塞尔函数。

艾里微分方程的一个推广由下式给出

y^(''')-4xy^'-2y=0,
(32)

其解为

y=C_1[Ai(x)]^2+C_2Ai(x)Bi(x)+C_3[Bi(x)]^2
(33)

(Abramowitz and Stegun 1972, p. 448; Zwillinger 1997, p. 128)。

另请参阅

艾里-福克函数, 艾里函数, 第一类贝塞尔函数, 第一类修正贝塞尔函数

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (Eds.). "艾里函数." §10.4.1 in 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 版。 New York: Dover, pp. 446-452, 1972.Zwillinger, D. (Ed.). CRC 标准数学表格和公式。 Boca Raton, FL: CRC Press, p. 413, 1995.Zwillinger, D. 微分方程手册，第 3 版。 Boston, MA: Academic Press, p. 121, 1997.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

艾里微分方程

引用为

Weisstein, Eric W. "艾里微分方程。" 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/AiryDifferentialEquation.html

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