一般来说，格林函数是一个积分核，可用于求解大量方程族的微分方程，包括更简单的示例，例如具有初始或边界值条件的常微分方程，以及更困难的示例，例如具有边界条件的非齐次偏微分方程 (PDE)。 格林函数因其诸多重要原因，允许对与力源或集中于一点的电荷相关的动作进行可视化解释（Qin 2014），因此使其在应用数学领域中特别有用。 特别是，格林函数方法广泛应用于物理学和工程学等领域。
更准确地说，给定一个作用于子集 
上分布集合的线性微分算子 
，其中 是某个欧几里得空间 
的子集，则在点 
处对应于 
的格林函数 
是以下方程的任何解
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(1)
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其中 
表示 delta 函数。 定义这样一个函数的动机很广泛，但是通过将上述恒等式乘以函数 
并关于 
进行积分，得到
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(2)
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由于 delta 函数的性质，右手边仅简化为 
，并且由于 
是仅作用于 
而不作用于 
的线性算子，因此左手边可以重写为
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(3)
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当求解形式为以下形式的微分方程中的 
时，这种简化特别有用
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(4)
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其中上述算术证实了
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(5)
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由此得出 
具有特定的积分形式
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(6)
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上图说明了格林函数的直观物理意义，以及一个相对简单的相关微分方程，可用于与上述定义进行比较（Hartmann 2013）。 特别是，它显示了一根长度为 
的绷紧绳索，悬挂在两壁之间，并通过施加在其两端的相同的水平力 
和放置在绳索上某个内部点 
的横向载荷 
固定到位。 令 
为对应于挠曲绳索上 
的点，假设向下的力 
是恒定的，例如 
，并令 
表示绳索的挠度。 对应于这个物理系统的是微分方程
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(7)
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对于 
，其中 
，该系统的简单性允许显式地写出其解 
及其格林函数 
。
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(8)
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和
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(9)
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分别地。 如上图所示，位移绳索具有 
给出的分段线性格式，从而证实了格林函数 
与此系统相关的声明，它表示水平绳索对应于力 
的应用的作用。
取一对参数 
的格林函数有时被称为两点格林函数。 这与多点格林函数形成对比，后者在多体理论领域中尤为重要。
作为上述定义的两点函数的初等示例，考虑确定由电荷密度为 
的电荷分布生成的势 
的问题，由此将泊松方程和库仑定律应用于由每个电荷元 
在 
处产生的势，得到解
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(10)
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在某些条件下，该解在 
的区域内成立。 因为右手边可以被视为将 
转换为 
的积分算子，所以可以根据格林函数 
重写此解，该格林函数具有以下形式
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(11)
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由此可以将解重写为
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(12)
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（Arfken 2012）。
上图显示了与上述讨论的 
-
方程的解相关的格林函数，其中在此处，
和 
，分别 
，绘制在 
-，分别 
- 轴上。
Kevin Cole (Cole 2000) 在线维护着一个相当全面的与各种微分方程相对应的格林函数列表。
由于关于格林函数的文献众多，因此可能会出现几种不同的符号和定义，其中一些在主题上与上述不同，但通常不会影响结果的重要属性。 例如，如上例所示，一些作者更喜欢用向量 
和 
来表示变量 
和 
，以强调它们是 
的元素，其中 
可能大于 1 (Arfken 1985)。 也很常见到带有负号的定义，使得 
被定义为满足以下条件的函数
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(13)
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但由于这种纯粹的物理考虑对基础数学没有影响，因此通常会忽略这一点。 格林函数也已知存在其他几种符号，其中一些符号包括使用小写 
代替 
(Stakgold 1979)，以及包含竖线而不是逗号，例如，
(Duffy 2001)。
在其他情况下，文献中提出的定义与它们呈现的上下文密切相关。 例如，一些作者将格林函数定义为满足某些条件集（例如，在特定类型的域上存在、与非常特定的微分算子 
关联或满足精确的边界条件集）的函数。 最常见的此类示例之一可以在 Speck 等人的笔记中找到，其中格林函数被定义为满足 
，对于点 
和 对于所有位于 
的边界 
中的点 
，
(Speck 2011)。 这个特殊的定义提出了一个积分核，对应于广义泊松方程的解，因此在适应更一般的设置时将面临明显的局限性。 另一方面，这样的例子并非没有好处。 例如，在上述广义泊松示例中，每个这样的格林函数 
都可以拆分，使得
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其中 
和 对于常规拉普拉斯算子 
，
(Hartman 2013)。 在这种情况下，
被称为底层微分方程的基本解，
被称为其正则解； 因此，
和 
有时分别称为 
的基本部分和正则部分。
一般格林函数的几个基本性质直接（或几乎直接）从其定义中得出，并适用于所有特定实例。 例如，如果算子 
的核是非平凡的，则可能存在与单个算子相关的多个格林函数； 因此，在提到“格林函数”时必须谨慎。 格林函数在其两个参数中满足伴随对称性，使得
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其中此处，
被定义为方程的解
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(16)
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此处，
是 
的伴随算子。 这个事实的一个直接推论是，对于自伴随算子 
，
是对称的
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这个恒等式通常称为互易原理，用物理术语来说，它表示由 
处的单位源引起的 
处的响应与由 
处的单位力引起的 
处的响应相同 (Stakgold 1979)。
任何格林函数的基本属性是，它提供了一种描述任意微分方程解对某些边界条件存在下某种源项的响应的方法（Arfken et al. 2012）。 一些作者认为，格林函数在偏微分方程理论中起着与 傅里叶级数 在常微分方程解中大致相似的作用（Mikula 和 Kos 2006）。
对于更抽象的场景，存在许多概念，这些概念充当格林函数概念的特定于上下文的类似物。 例如，在泛函分析中，考虑所谓的广义格林函数通常很有用，当抽象地对泛函而不是函数进行积分时，它具有许多类似的性质。 实际上，这种概括已经产生了理论 PDE 分析的完全类似的branch，并且它们本身就是大量研究的焦点。
