导数

一个函数的导数表示该函数相对于其变量之一的无穷小变化。

函数 关于变量 的“简单”导数表示为 或

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通常以内联形式写为 。当对时间求导时，通常使用牛顿的 надстрочный 点 表示法来表示流数，

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莱布尼茨的 “d-ism” 最终在符号表示的争夺战中战胜了牛顿的流数表示法的 “dotage”（P. Ion, 私人交流，2006 年 8 月 18 日）。

当求 次导数时，使用符号 或

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使用，其中

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等等，是对应的流数表示法。

当函数 依赖于多个变量时，可以使用偏导数

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来指定关于一个或多个变量的导数。

函数 关于变量 的导数定义为

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但也可以更对称地计算为

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前提是已知导数存在。

应该注意的是，以上定义指的是“实”导数，即限制在沿实轴方向上的导数。然而，这种限制是人为的，导数最自然的定义是在复平面上，在那里它们有时被明确地称为复导数。为了使复导数存在，对于在复平面中沿任何方向取的导数，必须获得相同的结果。令人有些惊讶的是，数学中几乎所有重要的函数都满足这个性质，这等价于说它们满足柯西-黎曼方程。

这些考虑可能会给学生带来困惑，因为初等微积分教材通常只考虑“实”导数，从不提及复导数、复变量或复函数的存在。例如，与教科书示例相反，“导数”（读作：复导数） 的绝对值函数 不存在，因为在复平面中的每个点，导数值都取决于导数取的方向（因此柯西-黎曼方程不能也不成立）。然而，实导数（即，将导数限制在沿实轴的方向上）可以为 以外的点定义为

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由于计算机代数语言和程序（如 Wolfram 语言）通常处理复变量（即，导数的定义始终意味着复导数），因此 在此类软件中正确地返回未求值结果。

如果一阶导数存在，则二阶导数可以定义为

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并且可以更对称地计算为

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再次前提是已知二阶导数存在。

请注意，为了使极限存在， 和 都必须存在且相等，因此函数必须是连续的。然而，连续性是可微性的必要条件但不是充分条件。由于一些不连续函数可以积分，因此在某种意义上，可以积分的函数比可微分的函数“更多”。在给斯蒂尔吉斯的信中，埃尔米特写道：“我对这种没有导数的可悲的函数瘟疫感到惊恐和恐惧。”

导数到任意方向的三维推广被称为方向导数。一般来说，导数是存在于流形上的光滑函数之间的数学对象。在这种形式体系中，导数通常被组合成“切映射”。

在许多方面，执行数值微分比数值积分更困难。这是因为，虽然数值积分只需要被积函数具有良好的连续性，但数值微分需要更复杂的性质，例如 Lipschitz 类。

一些简单函数的简单导数如下

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其中 , , 等是雅可比椭圆函数，并且已广泛使用乘积法则和商法则来展开导数。

有许多重要的规则用于计算某些函数组合的导数。和的导数等于导数的和，因此

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此外，如果 是常数，

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微分的乘积法则指出

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其中 表示 关于 的导数。此导数规则可以迭代应用，以产生三个或更多函数乘积的导数规则，例如，

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导数的商法则指出

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而幂法则给出

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用于计算导数的另一个非常重要的规则是链式法则，它指出对于 ，

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或更一般地，对于

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其中 表示偏导数。

其他各种导数恒等式包括

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如果 ，其中 是常数，则

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因此

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反函数的导数恒等式包括

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向量函数的向量导数

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可以定义为

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阶导数 对于 , 2, ... 是

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系数三角形 1；1, 1；2, 4, 1；6, 18, 9, 1；... (OEIS A021009) 的 行由拉盖尔多项式 的系数的绝对值给出。

Faà di Bruno 公式给出了复合函数 的 阶导数的显式公式。

1996 年 6 月 2 日比尔·阿门德 (Bill Amend) 的漫画 FoxTrot (Amend 1998, p. 19; Mitchell 2006/2007) 以以下导数作为一个“难题”考试题，原 intended 用于补习数学班，但意外地发给了普通班

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