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埃尔米特微分方程

第二阶常微分方程

(d^2y)/(dx^2)-2x(dy)/(dx)+lambday=0.
(1)

此微分方程在 infty 处有一个不规则奇点。它可以使用级数方法求解。

sum_(n=0)^infty(n+2)(n+1)a_(n+2)x^n-sum_(n=1)^infty2na_nx^n+sum_(n=0)^inftylambdaa_nx^n=0
(2)
(2a_2+lambdaa_0)+sum_(n=1)^infty[(n+2)(n+1)a_(n+2)-2na_n+lambdaa_n]x^n=0.
(3)

因此，

a_2=-(lambdaa_0)/2
(4)

并且

a_(n+2)=(2n-lambda)/((n+2)(n+1))a_n
(5)

对于 n=1, 2, .... 由于 (4) 只是 (5) 的一个特例，

a_(n+2)=(2n-lambda)/((n+2)(n+1))a_n
(6)

对于 n=0, 1, ....

线性无关解是

y_1=a_0[1-lambda/(2!)x^2-((4-lambda)lambda)/(4!)x^4-((8-lambda)(4-lambda)lambda)/(6!)x^6-...]
(7)
y_2=a_1[x+((2-lambda))/(3!)x^3+((6-lambda)(2-lambda))/(5!)x^5+...].
(8)

这些可以以闭合形式完成，如

y=a_0_1F_1(-1/4lambda;1/2;x^2)+a_1x_1F_1(-1/4(lambda-2);3/2;x^2)
(9)
=a_0_1F_1(-1/4lambda;1/2;x^2)+a_2H_(lambda/2)(x),
(10)

其中 _1F_1(a;b;x) 是第一类合流超几何函数，H_n(x) 是埃尔米特多项式。 特别是，对于 lambda=0, 2, 4, ..., 解可以写成

y_(lambda=0)=a_0+1/2sqrt(pi)a_1erfi(x)
(11)
y_(lambda=2)=a_0[e^(x^2)-sqrt(pi)xerfi(x)]+xa_1
(12)
y_(lambda=4)=1/4{2e^(x^2)xa_1-(2x^2-1)[4a_0+sqrt(pi)a_1erfi(x)]},
(13)

其中 erfi(x) 是erfi函数。

如果 lambda=0，则埃尔米特微分方程变为

y^('')-2xy^'=0,
(14)

它是如下形式 P_2(x)y^('')+P_1(x)y^'=0，因此有解

y=c_1int(dx)/(exp(int(P_1)/(P_2)dx))+c_2
(15)
=c_1int(dx)/(expint(-2x)dx)+c_2
(16)
=c_1int(dx)/(e^(-x^2))+c_2=c_1erfi(x)+c_2.
(17)

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引用为

Weisstein, Eric W. “埃尔米特微分方程。” 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/HermiteDifferentialEquation.html

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