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切比雪夫微分方程

(1-x^2)(d^2y)/(dx^2)-x(dy)/(dx)+alpha^2y=0
(1)

对于 |x|<1。 切比雪夫微分方程在 奇点 处有正则奇点，奇点为 -1、1 和 infty。 它可以通过使用级数展开的级数解法来求解

y=sum_(n=0)^(infty)a_nx^n
(2)
y^'=sum_(n=0)^(infty)na_nx^(n-1)
(3)
=sum_(n=1)^(infty)na_nx^(n-1)
(4)
=sum_(n=0)^(infty)(n+1)a_(n+1)x^n
(5)
y^('')=sum_(n=0)^(infty)(n+1)na_(n+1)x^(n-1)
(6)
=sum_(n=1)^(infty)(n+1)na_(n+1)x^(n-1)
(7)
=sum_(n=0)^(infty)(n+2)(n+1)a_(n+2)x^n.
(8)

现在，将方程 (6) 和 (8) 代入原始方程 (◇) 得到

(1-x^2)sum_(n=0)^infty(n+2)(n+1)a_(n+2)x^n -xsum_(n=0)^infty(n+1)n_(n+1)x^n+alpha^2sum_(n=0)^inftya_nx^n=0
(9)
sum_(n=0)^infty(n+2)(n+1)a_(n+2)x^n-sum_(n=0)^infty(n+2)(n+1)a_(n+2)x^(n+2) -sum_(n=0)^infty(n+1)a_(n+1)x^(n+1)+alpha^2sum_(n=0)^inftya_nx^n=0
(10)
sum_(n=0)^infty(n+2)(n+1)a_(n+2)x^n-sum_(n=2)^inftyn(n-1)a_nx^n -sum_(n=1)^inftyna_nx^n+alpha^2sum_(n=0)^inftya_nx^n=0
(11)
2·1a_2+3·2a_3x-1·ax+alpha^2a_0+alpha^2a_1x +sum_(n=2)^infty[(n+2)(n+1)a_(n+2)-n(n-1)a_n-na_n+alpha^2a_n]x^n=0
(12)
(2a_2+alpha^2a_0)+[(alpha^2-1)a_1+6a_3]x +sum_(n=2)^infty[(n+2)(n+1)a_(n+2)+(alpha^2-n^2)a_n]x^n=0,
(13)

因此

2a_2+alpha^2a_0=0
(14)
(alpha^2-1)a_1+6a_3=0,
(15)

通过归纳法，

a_(n+2)=(n^2-alpha^2)/((n+1)(n+2))a_n
(16)

对于 n=2、3、...。

由于 (14) 和 (15) 是 (16) 的特例，因此可以写出通用的递推关系

a_(n+2)=(n^2-alpha^2)/((n+1)(n+2))a_n
(17)

对于 n=0、1、...。 由此，我们得到偶数系数为

a_2=(-alpha^2)/2a_0
(18)
a_4=(2^2-alpha^2)/(3·4)a_2=((2^2-alpha^2)(-alpha^2))/(1·2·3·4)a_0
(19)
a_(2n)=([(2n)^2-alpha^2][(2n-2)^2-alpha^2]...(-alpha^2))/((2n)!)a_0,
(20)

对于奇数系数为

a_3=(1-alpha^2)/6a_1
(21)
a_5=(3^2-alpha^2)/(4·5)a_3=((3^2-alpha^2)(1^2-alpha^2))/(5!)a_1
(22)
a_(2n-1)=([(2n-1)^2-alpha^2][(2n-3)^2-alpha^2]...[1^2-alpha^2])/((2n+1)!)a_1.
(23)

偶系数 k=2n 可以用闭合形式给出为

a_(k even)=a_0product_(j=1)^(k/2)(k-2j)^2-alpha^2
(24)
=(2^(k-1)pialphacsc(1/2pialpha))/(Gamma(1-1/2k-1/2alpha)Gamma(1-1/2k+1/2alpha))a_0,
(25)

奇系数 k=2n-1 可以用闭合形式给出为

a_(k odd)=a_1product_(j=1)^((k-1)/2)(k-2j)^2-alpha^2
(26)
=(2^(k-1)pialphasec(1/2pialpha))/(Gamma(1-1/2k-1/2alpha)Gamma(1-1/2k+1/2alpha))a_1.
(27)

然后，通过对所有索引求和给出通解，

y=a_0[1+sum_(k=2,4,...)^infty(a_(k even))/(k!)x^k] +[x+sum_(k=3,5,...)^infty(a_(k odd))/(k!)x^k],
(28)

这可以用闭合形式完成，如

y=a_0cos(alphasin^(-1)x)+(a_1)/alphasin(alphasin^(-1)x).
(29)

执行变量更改会给出解的等效形式

y=b_1cos(alphacos^(-1)x)+b_2sin(alphacos^(-1)x)
(30)
=b_1T_alpha(x)+b_2sqrt(1-x^2)U_(alpha-1)(x),
(31)

其中 T_n(x) 是第一类切比雪夫多项式，U_n(x) 是第二类切比雪夫多项式。 解的另一种等效形式由下式给出

y=c_1cosh[alphaln(x+sqrt(x^2-1))] +ic_2sinh[alphaln(x+sqrt(x^2-1))].
(32)

另请参阅

第一类切比雪夫多项式, 第二类切比雪夫多项式

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参考文献

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, p. 735, 1985.Boyce, W. E. and DiPrima, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 4th ed. New York: Wiley, pp. 232 and 252, 1986.Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, p. 127, 1997.

在 上引用

切比雪夫微分方程

请引用为

Weisstein, Eric W. “切比雪夫微分方程。” 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ChebyshevDifferentialEquation.html

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