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雅可比微分方程

(1-x^2)y^('')+[beta-alpha-(alpha+beta+2)x]y^'+n(n+alpha+beta+1)y=0
(1)

或

d/(dx)[(1-x)^(alpha+1)(1+x)^(beta+1)y^']+n(n+alpha+beta+1)(1-x)^alpha(1+x)^betay=0.
(2)

解是 雅可比多项式 P_n^((alpha,beta))(x) 或者，用超几何函数表示为

y(x)=C_1_2F_1(-n,n+1+alpha+beta,1+alpha,1/2(x-1)) +2^alpha(x-1)^(-alpha)C_2_2F_1(-n-alpha,n+1+beta,1-alpha,1/2(1-x)).
(3)

方程 (2) 可以变换为

(d^2u)/(dx^2)+[1/4(1-alpha^2)/((1-x)^2)+1/4(1-beta^2)/((1+x)^2)+(n(n+alpha+beta+1)+1/2(alpha+1)(beta+1))/(1-x^2)]u=0,
(4)

其中

u(x)=(1-x)^((alpha+1)/2)(1+x)^((beta+1)/2)P_n^((alpha,beta))(x),
(5)

和

(d^2u)/(dtheta^2)+[(1/4-alpha^2)/(4sin^2(1/2theta))+(1/4-beta^2)/(4cos^2(1/2theta))+(n+(alpha+beta+1)/2)^2]u=0,
(6)

其中

u(theta)=sin^(alpha+1/2)(1/2theta)cos^(beta+1/2)(1/2theta)P_n^((alpha,beta))(costheta).
(7)

Zwillinger (1997, 第 123 页) 给出了一个相关的微分方程，他称之为雅可比方程

x(1-x)y^('')+[gamma-(alpha+1)x]y^'+n(alpha+n)y=0
(8)

(Iyanaga 和 Kawada 1980, 第 1480 页)，其解为

y=C_1_2F_1(-n,n+alpha,gamma,x) -(-1)^(-gamma)x^(1-gamma)C_2_2F_1(1-n-gamma,1+n+alpha-gamma,2-gamma,x).
(9)

Zwillinger (1997, 第 120 页；重复两次) 还给出了另一种类型的常微分方程，称为雅可比方程，

(a_1+b_1x+c_1y)(xy^'-y)-(a_2+b_2x+c_2y)y^' +(a_3+b_3x+c_3y)=0
(10)

(Ince 1956, 第 22 页)。

在变分法中，偏微分方程

d/(dx)Omega_(eta^')-Omega_eta=d/(dx)(f_(y^'y)eta+f_(y^'y)eta^')-(f_(yy)eta+f_(yy^')eta^')=0,
(11)

其中

Omega(x,eta,eta^')=1/2(f_(yy)eta^2+2f_(yy^')etaeta^'+f_(y^'y)eta^('2))
(12)

被称为雅可比微分方程。

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参考文献

Bliss, G. A. 变分法。 Chicago, IL: Open Court, 页码 162-163, 1925.Ince, E. L. 常微分方程。 New York: Dover, 页码 22, 1956.Iyanaga, S. 和 Kawada, Y. (编). 数学百科辞典。 Cambridge, MA: MIT Press, 页码 1480, 1980.Zwillinger, D. 微分方程手册，第 3 版。 Boston, MA: Academic Press, 页码 120, 1997.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

雅可比微分方程

请引用为

Weisstein, Eric W. "雅可比微分方程。" 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/JacobiDifferentialEquation.html

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