勒让德微分方程 -- 来自 Wolfram MathWorld

勒让德微分方程是二阶常微分方程

(1)

它可以被重写为

(2)

上述形式是所谓的“关联勒让德微分方程”在情况下的特例。勒让德微分方程在、1 和处有正则奇点。

如果变量被替换为，则勒让德微分方程变为

(3)

以下推导了关联 () 情况。

由于勒让德微分方程是二阶常微分方程，它有两个线性独立的解。在有限点处正则的解称为第一类勒让德函数，而在处奇异的解称为第二类勒让德函数。如果是整数，则第一类函数简化为称为勒让德多项式的多项式。

勒让德微分方程可以使用弗罗贝尼乌斯方法通过进行的级数展开来求解，

代入，

(7)

$sum_(n=0)^infty{(n+1)(n+2)a_(n+2)+[-n(n-1)-2n+l(l+1)]a_n}=0,$

(14)

因此每一项必须消失，并且

(15)

			(16)
			(17)

因此，

因此偶解是

(23)

类似地，奇解是

(24)

如果是偶数整数，级数简化为次数为且仅包含偶数次幂的多项式，而级数发散。如果是奇数整数，级数简化为次数为且仅包含奇数次幂的多项式，而级数发散。整数的通解由勒让德多项式给出

		$c_n{y_1(x) for l even; y_2(x) for l odd$	(25)
		$c_n{_2F_1(-1/2,1/2(l+1);1/2,x^2) for l even; x_2F_1(1/2(l+2),1/2(1-l);3/2;x^2) for l odd$	(26)

其中选择以产生归一化，而是超几何函数。

勒让德微分方程的推广形式被称为关联勒让德微分方程。

Moon 和 Spencer (1961, p. 155) 将微分方程称为

(27)

勒让德波动方程 (Zwillinger 1997, p. 124)。

勒让德微分方程