偏微分方程

偏微分方程 (PDE) 是一个涉及函数及其偏导数的方程；例如，波动方程

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一些偏微分方程可以在 Wolfram 语言中使用以下命令精确求解DSolve[eqn, y, x1, x2]，以及使用以下命令进行数值求解NDSolve[eqns, y, x, xmin, xmax, t, tmin, tmax]。

一般来说，偏微分方程比常微分方程更难解析求解。有时可以使用 Bäcklund 变换、特征线法、格林函数、积分变换、Lax 对、分离变量法，或者——当所有其他方法都失败时（这种情况经常发生）——数值方法，例如有限差分法来求解。

幸运的是，二阶偏微分方程通常可以使用解析解法。这类 PDE 的形式为

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然后根据矩阵的性质对线性二阶 PDE 进行分类

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分为椭圆型、双曲型或抛物型。

如果是一个正定矩阵，即，则称该 PDE 为椭圆型。拉普拉斯方程和泊松方程是例子。边界条件用于给出约束在上，其中

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在中成立。

如果 det，则称该 PDE 为双曲型。波动方程是双曲型偏微分方程的一个例子。初边值条件用于给出

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其中

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在中成立。

如果 det，则称该 PDE 为抛物型。热传导方程和其他扩散方程是例子。初边值条件用于给出

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(10)

其中

(11)

在中成立。

以下是数学物理问题中常见的重要的偏微分方程示例。

Benjamin-Bona-Mahony 方程

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双调和方程

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Boussinesq 方程

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Cauchy-Riemann 方程

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Korteweg-de Vries-Burgers 方程

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Korteweg-de Vries 方程

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Krichever-Novikov 方程

(24)

其中

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另请参阅

Bäcklund 变换, 边界条件, 特征线法, 椭圆型偏微分方程, 格林函数, 双曲型偏微分方程, 积分变换, Johnson 方程, Lax 对, Monge-Ampère 微分方程, 抛物型偏微分方程, 分离变量法在 MathWorld 课堂中探索此主题

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参考文献

Arfken, G. "Partial Differential Equations of Theoretical Physics." §8.1 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 437-440, 1985.Bateman, H. Partial Differential Equations of Mathematical Physics. New York: Dover, 1944.Conte, R. "Exact Solutions of Nonlinear Partial Differential Equations by Singularity Analysis." 13 Sep 2000. http://arxiv.org/abs/nlin.SI/0009024.Kamke, E. Differentialgleichungen Lösungsmethoden und Lösungen, Bd. 2: Partielle Differentialgleichungen ester Ordnung für eine gesuchte Function. New York: Chelsea, 1974.Folland, G. B. Introduction to Partial Differential Equations, 2nd ed. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1996.Kevorkian, J. Partial Differential Equations: Analytical Solution Techniques, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 2000.Morse, P. M. and Feshbach, H. "Standard Forms for Some of the Partial Differential Equations of Theoretical Physics." Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 271-272, 1953.Polyanin, A.; Zaitsev, V.; and Moussiaux, A. Handbook of First-Order Partial Differential Equations. New York: Gordon and Breach, 2001.Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. "Partial Differential Equations." Ch. 19 in Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 818-880, 1992.Sobolev, S. L. Partial Differential Equations of Mathematical Physics. New York: Dover, 1989.Sommerfeld, A. Partial Differential Equations in Physics. New York: Academic Press, 1964.Taylor, M. E. Partial Differential Equations, Vol. 1: Basic Theory. New York: Springer-Verlag, 1996.Taylor, M. E. Partial Differential Equations, Vol. 2: Qualitative Studies of Linear Equations. New York: Springer-Verlag, 1996.Taylor, M. E. Partial Differential Equations, Vol. 3: Nonlinear Equations. New York: Springer-Verlag, 1996.Trott, M. "The Mathematica Guidebooks Additional Material: Various Time-Dependent PDEs." http://www.mathematicaguidebooks.org/additions.shtml#N_1_06.Webster, A. G. Partial Differential Equations of Mathematical Physics, 2nd corr. ed. New York: Dover, 1955.Weisstein, E. W. "Books about Partial Differential Equations." http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/PartialDifferentialEquations.html.Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, 1997.

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Weisstein, Eric W. "Partial Differential Equation." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源. https://mathworld.net.cn/PartialDifferentialEquation.html

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