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拉梅微分方程

该 常微分方程

(x^2-b^2)(x^2-c^2)(d^2z)/(dx^2)+x(x^2-b^2+x^2-c^2)(dz)/(dx)-[m(m+1)x^2-(b^2+c^2)p]z=0.
(1)

(Byerly 1959, 第 255 页)。解表示为 E_m^p(x)，被称为第一类椭球谐函数，或拉梅函数。 Whittaker 和 Watson (1990, 第 554-555 页) 给出了替代形式

4Delta_lambdad/(dlambda)[Delta_lambda(dLambda)/(dlambda)]=[n(n+1)lambda+C]Lambda
(2)
(d^2Lambda)/(dlambda^2)+[(1/2)/(a^2+lambda)+(1/2)/(b^2+lambda)+(1/2)/(c^2)](dLambda)/(dlambda)
(3)
=([n(n+1)lambda+C]Lambda)/(4Delta_lambda)
(4)
(d^2Lambda)/(du^2)=[n(n+1)P(u)+C-1/3n(n+1)(a^2+b^2+c^2)]Lambda
(5)
(d^2Lambda)/(dz^2)=n(n+1)k^2sn^2(z,k)+ALambda
(6)

(Whittaker 和 Watson 1990, 第 554-555 页；Ward 1987；Zwillinger 1997, 第 124 页)。这里，P 是一个 魏尔斯特拉斯椭圆函数，sn(z,k) 是一个 雅可比椭圆函数，并且

Lambda(theta)=product_(q=1)^(m)(theta-theta_q)
(7)
Delta_lambda=sqrt((a^2+lambda)(b^2+lambda)(c^2+lambda))
(8)
A=(C-1/3n(n+1)(a^2+b^2+c^2)+e_3n(n+1))/(e_1-e_3).
(9)

另外两个以拉梅命名的方程由下式给出

y^('')+1/2[1/(x-a_1)+1/(x-a_2)+1/(x-a_3)]y^'+1/4[(A_0+A_1x)/((x-a_1)(x-a_2)(x-a_3))]y=0
(10)

和

y^('')+1/2[1/x+1/(x-a_2)+1/(x-a_3)]y^'+1/4[((a_2^2+a_3^2)q-p(p+1)x+kappax^2)/(x(x-a_2)(x-a_3))]y=0
(11)

(Moon 和 Spencer 1961, 第 157 页；Zwillinger 1997, 第 124 页)。

另请参阅

椭球波动方程, 拉梅微分方程类型, Wangerin 微分方程

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参考文献

Byerly, W. E. An Elementary Treatise on Fourier's Series, and Spherical, Cylindrical, and Ellipsoidal Harmonics, with Applications to Problems in Mathematical Physics. New York: Dover, 1959.Moon, P. and Spencer, D. E. Field Theory for Engineers. New York: Van Nostrand, 1961.Ward, R. S. "The Nahm Equations, Finite-Gap Potentials and Lamé Functions." J. Phys. A: Math. Gen. 20, 2679-2683, 1987.Whittaker, E. T. and Watson, G. N. A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, p. 124, 1997.

在 Wolfram|Alpha 中引用

拉梅微分方程

引用为

Weisstein, Eric W. “拉梅微分方程。” 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/LamesDifferentialEquation.html

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