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贝塞尔微分方程

贝塞尔微分方程是由下式给出的线性二阶常微分方程

x^2(d^2y)/(dx^2)+x(dy)/(dx)+(x^2-n^2)y=0.
(1)

等价地，两边除以 x^2，

(d^2y)/(dx^2)+1/x(dy)/(dx)+(1-(n^2)/(x^2))y=0.
(2)

此方程的解定义了贝塞尔函数 J_n(x) 和 Y_n(x)。该方程在 0 处有一个正则奇点，在 infty 处有一个非正则奇点。

Bowman (1958) 给出的贝塞尔微分方程的变换形式是

x^2(d^2y)/(dx^2)+(2p+1)x(dy)/(dx)+(a^2x^(2r)+beta^2)y=0.
(3)

解是

y=x^(-p)[C_1J_(q/r)(alpha/rx^r)+C_2Y_(q/r)(alpha/rx^r)],
(4)

其中

q=sqrt(p^2-beta^2),
(5)

J_n(x) 和 Y_n(x) 是第一类和第二类贝塞尔函数，C_1 和 C_2 是常数。另一种形式是通过令 y=x^alphaJ_n(betax^gamma)、eta=yx^(-alpha) 和 xi=betax^gamma (Bowman 1958, p. 117) 给出，则

(d^2y)/(dx^2)-(2alpha-1)/x(dy)/(dx)+(beta^2gamma^2x^(2gamma-2)+(alpha^2-n^2gamma^2)/(x^2))y=0.
(6)

解是

y={x^alpha[AJ_n(betax^gamma)+BY_n(betax^gamma)] for integer n; x^alpha[AJ_n(betax^gamma)+BJ_(-n)(betax^gamma)] for noninteger n.
(7)

另请参阅

艾里函数, 安格函数, Bei, Ber, 贝塞尔函数, 贝塞尔函数诺伊曼级数, 布尔热假设, 卡塔兰积分, 柱函数, 狄尼展开, 汉克尔函数, 汉克尔积分, 半球函数, 卡普坦级数, 利普希茨积分, 洛梅尔微分方程, 洛梅尔函数, 洛梅尔积分, 帕塞瓦尔积分, 泊松积分, 拉马努金积分, 里卡蒂微分方程, 索宁积分, 斯特鲁韦函数, 韦伯函数, 韦伯不连续积分

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编). §9.1.1 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, 1972.Bowman, F. Introduction to Bessel Functions. New York: Dover, 1958.Morse, P. M. 和 Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, p. 550, 1953.Zwillinger, D. (编). CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 413, 1995.Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, p. 121, 1997.

在 Wolfram|Alpha 中引用

贝塞尔微分方程

请引用为

Weisstein, Eric W. "贝塞尔微分方程。" 来自 MathWorld--一个 Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/BesselDifferentialEquation.html

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