主题
Search

斐波那契数

DOWNLOAD Mathematica Notebook下载 Wolfram 笔记本

斐波那契数是由 线性递推方程

F_n=F_(n-1)+F_(n-2)
(1)

且 F_1=F_2=1。根据定义 (1)，通常定义 F_0=0。

对于 n=1，斐波那契数为 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... (OEIS A000045)。

斐波那契数可以看作是 斐波那契多项式 F_n(x) 在 F_n=F_n(1) 时的特例。

斐波那契数在 Wolfram 语言 中被实现为Fibonacci[n].

斐波那契数也是一个 卢卡斯序列 U_n(1,-1)，并且是 卢卡斯数 的伴随序列（它们满足相同的 递推方程）。

FoxTrot by Bill Amend

上面的漫画（Amend 2005）展示了斐波那契数的一种非常规体育应用（左边两格）。（右边一格应用的是 佩兰序列）。

前八个斐波那契数的一个乱序版本 13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5 (OEIS A117540) 出现在 D. Brown 的小说《达·芬奇密码》（Brown 2003, pp. 43, 60-61, and 189-192）中，作为被谋杀的博物馆馆长 Jacque Saunière 留下的线索之一。在电视剧 数字追凶 第一季的剧集 "破坏" (2005) 中，数学天才 Charlie Eppes 提到在晶体的结构、星系的螺旋以及鹦鹉螺壳中都发现了斐波那契数。在 CBS-TV 犯罪剧 "犯罪心理" 第四季的剧集 "杰作" (2008) 中，FBI 行为分析小组的特工们遇到了一位连环杀手，他使用斐波那契数列来确定每次杀戮事件的受害者人数。在这一集中，角色 Dr. Reid 还注意到，杀戮地点位于 黄金螺线 的图上，前往螺旋中心使 Reid 能够确定凶手的行动基地位置。

Binary plot of the Fibonacci sequence

上面的图表显示了斐波那契数列的前 511 项的二进制表示，揭示了一个有趣的空心和实心三角形图案（Pegg 2003）。底部边缘出现了一个类似分形结构的白色三角形系列，部分原因是 F_(2^n+2^(n+1)) 的二进制表示以 n+2 个零结尾。还存在许多其他类似的性质。

斐波那契数给出了 n 个月后兔子的对数，从最初的一对开始繁殖算起（假设新生的兔子在两个月大时开始繁殖），正如比萨的列奥纳多（也称为斐波那契）在他的著作《Liber Abaci》中所描述的那样。开普勒也描述了斐波那契数（Kepler 1966; Wells 1986, pp. 61-62 和 65）。在斐波那契撰写他的著作之前，印度学者如 Gopāla（1135 年之前）和 Hemachandra（约 1150 年）已经讨论过斐波那契数，他们长期以来对由一拍和两拍音符或音节组成的节奏模式感兴趣。具有 n 拍的总节奏数是 F_(n+1)，因此这些学者都明确提到了数字 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... (Knuth 1997, p. 80)。

小于 10, 10^2, 10^3, ... 的斐波那契数的数量分别为 6, 11, 16, 20, 25, 30, 35, 39, 44, ... (OEIS A072353)。对于 n=1, 2, ..., F_(10^n) 中十进制数字的数量分别为 2, 21, 209, 2090, 20899, 208988, 2089877, 20898764, ... (OEIS A068070)。可以看出，初始数字串稳定下来，产生数字 208987640249978733769...，这对应于 lnphi=0.2089876... 的十进制数字 (OEIS A097348)，其中 phi 是 黄金比例。这源于对于任何幂函数 f_n=c^n，f_(10^n) 的十进制数字数量由 10^nlog_(10)c 给出。

斐波那契数 F_n，对于 n=6, 12, 18, 24, 25, 30, 36, 42, 48, 50, 54, 56, 60, 66, ..., 372, 375, 378, 384, ... (OEIS A037917) 是 平方数丰富的，对于 n=1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, ... (OEIS A037918) 是 无平方因子的。4|F_(6n) 且 25|F_(25n) 对于所有 n 成立，并且至少存在一个 n<=2m 使得 m|F_n。没有已知的 平方数丰富的 斐波那契数 F_p，其中 p 为 素数。

连续斐波那契数的比率 F_n/F_(n-1) 随着 n 趋近于无穷大而接近 黄金比例 phi，苏格兰数学家 Robert Simson 于 1753 年首次证明了这一点 (Wells 1986, p. 62)。交替斐波那契数的比率由 收敛子 给出，趋近于 phi^(-2)，其中 phi 是 黄金比例，并且据说衡量了植物茎上连续叶片之间的转动分数（叶序学）：榆树和椴树为 1/3，山毛榉和榛树为 2/5，橡树和苹果树为 3/8，杨树和玫瑰为 5/13，柳树和杏树等 (Coxeter 1969, Ball and Coxeter 1987)。斐波那契数有时被称为松果数 (Pappas 1989, p. 224)。斐波那契数在植物学中的作用有时被称为路德维希定律 (Szymkiewicz 1928; Wells 1986, p. 66; Steinhaus 1999, p. 299)。然而，植物学家 Cooke 建议在植物学和斐波那契数列之间建立联系时要谨慎 (Peterson 2006)。

方程 (◇) 是一个 线性递推方程

x_n=Ax_(n-1)+Bx_(n-2) n>=3,
(2)

因此 F_n 的闭式解由下式给出

F_n=(alpha^n-beta^n)/(alpha-beta),
(3)

其中 alpha 和 beta 是 x^2=Ax+B 的根。这里，A=B=1，所以方程变为

x^2-x-1=0,
(4)

其 根 为

x=1/2(1+/-sqrt(5)).
(5)

因此，闭式解由下式给出

F_n=((1+sqrt(5))^n-(1-sqrt(5))^n)/(2^nsqrt(5)).
(6)

这被称为 比内公式 (Wells 1986, p. 62)。另一个闭式解为

F_n=[1/(sqrt(5))((1+sqrt(5))/2)^n]
(7)
=[(phi^n)/(sqrt(5))],
(8)

其中 [x] 是 最接近整数函数 (Wells 1986, p. 62)。

Fibonacci

使用方程 (7)，F_n 的定义可以根据下式扩展到负整数 n

F_(-n)=(-1)^(n+1)F_n.
(9)

更一般地，斐波那契数可以通过下式扩展到实数 nu

F_nu=1/(sqrt(5)){((1+sqrt(5))/2)^nu-(2/(1+sqrt(5)))^nucos(nupi)},
(10)

如上图所示。

FibonacciRoots

斐波那契函数在 x=0 处有零点，并且有无数个负值接近 n+0.5，对于所有负整数 n，由以下方程的解给出

phi^(2x)=cos(pix),
(11)

其中 phi 是 黄金比例。前几个根为 0, x=-0.183802... (OEIS A089260), -1.5707764..., -2.4704268..., -3.5108513..., ....

斐波那契数的另一个 递推关系 是

F_(n+1)=|_(F_n(1+sqrt(5))+1)/2_|=|_phiF_n+1/2_|,
(12)

其中 |_x_| 是 向下取整函数，phi 是 黄金比例。这个表达式来自更一般的 递推关系

|F_(n+1) F_(n+2) ... F_(n+k); F_(n+k+1) F_(n+k+2) ... F_(n+2k); | | ... |; F_(n+k(k-1)+1) F_(n+k(k-1)+2) ... F_(n+k^2)|=0
(13)

对于 k>2。（k=1 的情况显然是 F_(n+1)，而 k=2 的情况本质上是 卡西尼恒等式，因此等于 (-1)^n。）

另一个有趣的 行列式 恒等式来自于定义 A_n 为 n×n 矩阵，该矩阵除了 a_(ii)=1 和 a_(ij)=sqrt(-1)（对于 |i-j|=1，即沿 上对角线 和 下对角线）之外，所有位置都为零。那么

|A_n|=F_(n+1)
(14)

(S. Markelov)。

斐波那契数的 生成函数 是

g(x)=sum_(n=0)^(infty)F_nx^n
(15)
=x/(1-x-x^2)
(16)
=x+x^2+2x^3+3x^4+5x^5+....
(17)
FibonacciSlash

通过代入 x=1/10，这给出了上面所示的奇特的加法树，

sum_(n=0)^infty(F_n)/(10^n)=(10)/(89),
(18)

因此

sum_(n=0)^infty(F_n)/(10^(n+1))=1/(89)
(19)

(Livio 2002, pp. 106-107)。

和

sum_(k=1)^infty1/(F_k)=3.35988566...
(20)

(OEIS A079586) 被称为 倒数斐波那契常数。

Yuri Matiyasevich (1970) 证明了存在一个关于 n、m 和许多其他变量 x、y、z、... 的多项式 P，它具有以下性质：n=F_(2m) 当且仅当 存在整数 x、y、z、... 使得 P(n,m,x,y,z,...)=0。这导致了 Julia Robinson 和 Martin Davis 在 1970 年证明了 希尔伯特问题 中的第十个问题（是否存在解决 丢番图方程 的通用方法？）的不可解性 (Reid 1997, p. 107)。

FibonacciChecker3
FibonacciChecker4
FibonacciChecker5

斐波那契数 F_(n+1) 给出了用 2×1 多米诺骨牌 覆盖 2×n 棋盘 的方法数，如上图所示 (Dickau)。

从数字 1, 2, ..., n 中选取一个 集合（包括 空集）而不选取两个连续数字的方法数是 F_(n+2)。从数字 1, 2, ..., n 中选取一个集合（包括 空集）而不选取两个连续数字（其中 1 和 n 现在是连续的）的方法数是 L_n=F_(n+1)+F_(n-1)，其中 L_n 是一个 卢卡斯数。

在抛掷 n 次 硬币 时，不连续出现两次正面的概率是 F_(n+2)/2^n (Honsberger 1985, pp. 120-122)。斐波那契数也与 n 次 抛硬币 的方式数有关，使得不会连续出现三个正面或反面。一个 n 元 栅栏偏序集 的理想数是斐波那契数 F_n。

给定一个由 n 个 1-Omega 电阻组成的 电阻网络，每个电阻都以前一个电阻串联或并联的方式递增连接，则净电阻是一个 有理数，其最大可能的 denominator 为 F_(n+1)。

斐波那契数可以用 第二类切比雪夫多项式 表示为

F_n=i^(n-1)U_(n-1)(-1/2i).
(21)

求和恒等式包括

sum_(k=1)^(n)F_k=F_(n+2)-1
(22)
sum_(k=0)^(n)F_(2k+1)=F_(2n+2)
(23)
sum_(k=0)^(n)F_(2k)=F_(2n+1)-1
(24)
sum_(k=1)^(n)F_k^2=F_nF_(n+1).
(25)

有许多特别漂亮的涉及斐波那契数的代数恒等式，包括

F_(2n)=F_(n+1)^2-F_(n-1)^2
(26)
=F_n(F_(n+1)+F_(n-1))
(27)
=F_n(F_n+2F_(n-1))
(28)
=F_n(2F_(n+1)-F_n)
(29)
F_(3n)=F_(n+1)^3+F_n^3-F_(n-1)^3
(30)
F_(n+1)^2=4F_nF_(n-1)+F_(n-2)^2
(31)

(Brousseau 1972), 卡塔兰恒等式

F_n^2-F_(n+r)F_(n-r)=(-1)^(n-r)F_r^2,
(32)

d'Ocagne 恒等式

F_mF_(n+1)-F_nF_(m+1)=(-1)^nF_(m-n),
(33)

和 Gelin-Cesàro 恒等式

F_n^4-F_(n-2)F_(n-1)F_(n+1)F_(n+2)=1.
(34)

在 (32) 中令 r=1 得到 卡西尼恒等式

F_(n-1)F_(n+1)-F_n^2=(-1)^n,
(35)

有时也称为 Simson 公式，因为它也是由 Simson 发现的 (Coxeter and Greitzer 1967, p. 41; Coxeter 1969, pp. 165-168; Petkovšek et al. 1996, p. 12)。

Johnson (2003) 给出了非常一般的恒等式

F_aF_b-F_cF_d=(-1)^r(F_(a-r)F_(b-r)-F_(c-r)F_(d-r)),
(36)

它对于任意整数 a、b、c、d 和 r（其中 a+b=c+d）成立，由此可以得出许多其他恒等式作为特例。

斐波那契数服从否定公式

F_(-n)=(-1)^(n+1)F_n,
(37)

加法公式

F_(m+n)=1/2(F_mL_n+L_mF_n),
(38)

其中 L_n 是一个 卢卡斯数，减法公式

F_(m-n)=1/2(-1)^n(F_mL_n-L_mF_n),
(39)

基本恒等式

L_n^2-5F_n^2=4(-1)^n,
(40)

共轭关系

F_n=1/5(L_(n-1)+L_(n+1)),
(41)

后继关系

F_(n+1)=1/2(F_n+L_n),
(42)

倍角公式

F_(2n)=F_nL_n,
(43)

多角递推

F_(kn)=L_kF_(k(n-1))-(-1)^kF_(k(n-2)),
(44)

多角公式

F_(kn)=1/(2^(k-1))sum_(i=0)^(|_(k-1)/2_|)(k; 2i+1)5^iF_n^(2i+1)L_n^(k-1-2i)
(45)
=F_nsum_(i=0)^(|_(k-1)/2_|)(k-1-i; i)(-1)^(i(n+1))L_n^(k-1-2i)
(46)
={L_nsum_(i=0)^((k-2)/2)(k-1-i; i)(-1)^(in)5^(k/2-1-i)F_n^(k-1-2i) for k even; sum_(i=0)^(|_k/2_|)k/(k-i)(k-i; i)(-1)^(in)5^(|_k/2_|-i)F_n^(k-2i) for k odd
(47)
=sum_(i=0)^(k)(k; i)F_iF_n^iF_(n-1)^(k-i)
(48)
=sum_(i=0)^(k)(k; i)F_(-i)F_n^iF_(n+1)^(k-i)
(49)

（其中 (48) 仅对 n>1 成立），推广

F_(kn+c)=sum_(i=0)^k(k; i)F_(c-i)F_n^iF_(n+1)^(k-i)
(50)

(A. Mihailovs, 私人通信，2003 年 1 月 24 日), 乘积展开式

F_mF_n=1/5[L_(m+n)-(-1)^nL_(m-n)]
(51)

以及

F_mL_n=F_(m+n)+(-1)^nF_(m-n),
(52)

平方展开式，

F_n^2=1/5[L_(2n)-2(-1)^n],
(53)

和幂展开式

F_n^k=1/(2·5^(|_k/2_|))sum_(i=0)^k(k; i)(-1)^(i(n+1)){F_((k-2i)n) for k odd; L_((k-2i)n) for k even.
(54)

Honsberger (1985, p. 107) 给出了通用关系式

F_(n+m)=F_(n-1)F_m+F_nF_(m+1)
(55)
F_((k+1)n)=F_(n-1)F_(kn)+F_nF_(kn+1)
(56)
F_n=F_lF_(n-l+1)+F_(l-1)F_(n-l).
(57)

在 l=n-l+1 的情况下，则 l=(n+1)/2，对于 n 奇数，

F_n=F_((n+1)/2)^2+F_((n-1)/2)^2.
(58)

类似地，对于 n 偶数，

F_n=F_(n/2+1)^2-F_(n/2-1)^2.
(59)

令 k=(n-1)/2 得到恒等式

F_(2k+1)=F_(k+1)^2+F_k^2
(60)
F_(n+2)^2-F_(n+1)^2=F_nF_(n+3)
(61)
F_n^2=F_(n-1)^2+3F_(n-2)^2+2F_(n-2)F_(n-3).
(62)
FibonacciShallowDiags

F_n 的求和 公式 包括

F_n=1/(2^(n-1))sum_(k=0)^(|_(n-1)/2_|)5^k(n; 2k+1)
(63)
F_(n+1)=sum_(k=0)^(|_n/2_|)(n-k; k)
(64)

(Wells 1986, p. 63)，后者表明 帕斯卡三角形 的 浅对角线”之和为斐波那契数 (Pappas 1989)。其他恒等式可以在 Fibonacci Quarterly 期刊中找到。Halton (1965) 给出了 47 个广义恒等式列表。

用 卢卡斯数 L_n 表示，

F_(2n)=F_nL_n
(65)
F_(2n)(L_(2n)^2-1)=F_(6n)
(66)
F_(m+p)+(-1)^(p+1)F_(m-p)=F_pL_m
(67)
sum_(k=a+1)^(a+4n)F_k=F_(a+4n+2)-F_(a+2)=F_(2n)L_(a+2n+2)
(68)

(Honsberger 1985, pp. 111-113)。一个显著的恒等式是

exp(L_1x+1/2L_2x^2+1/3L_3x^3+...)=F_1+F_2x+F_3x^2+...
(69)

(Honsberger 1985, pp. 118-119)，它可以推广到

exp(L_kx+1/2L_(2k)x^2+1/3L_(3k)x^3+...)=(F_k+F_(2k)x+F_(3k)x^2+...)/(F_k)
(70)

(Johnson 2003)。以下等式也成立

(L_n^2-(-1)^aL_(n+a)^2)/(F_n^2-(-1)^aF_(n+a)^2)=5
(71)

对于 a 奇数，以及

(L_n^2+L_(n+a)^2-8(-1)^n)/(F_n^2+F_(n+a)^2)=5
(72)

对于 a 偶数 (Freitag 1996)。

从 (◇) 中，连续项的 比率 为

(F_n)/(F_(n-1))=1+(F_(n-2))/(F_(n-1))
(73)
=1+1/((F_(n-1))/(F_(n-2)))
(74)
=1+1/(1+1/((F_(n-3))/(F_(n-2))))
(75)
=[1,1,...,(F_2)/(F_1)]
(76)
=[1,1,...,1_()_(n-1)],
(77)

这只是 黄金比例 phi 的 连分数 的前几项。因此，

lim_(n->infty)(F_n)/(F_(n-1))=phi.
(78)

与 黄金比例 的另一个有趣的联系由 级数 给出

phi=1+sum_(n=1)^infty((-1)^(n+1))/(F_nF_(n+1)).
(79)

Guy (1990) 注意到一个有趣的现象，对于 n=0, 1, ...，[e^((n-1)/2)] 给出 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...，但随后继续为 91, 149, ... (OEIS A005181)。

取前 n 个斐波那契数的乘积，并对 n=1, 2, ... 加 1，得到序列 2, 2, 3, 7, 31, 241, ... (OEIS A052449)。其中，2, 2, 3, 7, 31, 241, 3121, ... (OEIS A053413) 是素数，即项 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 22, 28, ... (OEIS A053408)。

斐波那契数中最后一位数字的序列以 60 为周期重复。最后两位数字以 300 为周期重复，最后三位数字以 1500 为周期重复，最后四位数字以 15000 为周期重复，等等。介于 n 和 2n 之间的斐波那契数的数量为 1 或 2 (Wells 1986, p. 65)。

Cesàro 推导出了有限和

sum_(k=0)^(n)(n; k)F_k=F_(2n)
(80)
sum_(k=0)^(n)(n; k)2^kF_k=F_(3n)
(81)

(Honsberger 1985, pp. 109-110)。斐波那契数满足幂递推式

sum_(j=0)^(t+1)(-1)^(j(j+1)/2)[t+1; j]_FF_(n-j)^t=0,
(82)

其中 [a; b]_F 是一个 斐波那契二项式系数，倒数和

sum_(k=1)^n((-1)^k)/(F_kF_(k+a))=(F_n)/(F_a)sum_(k=1)^a((-1)^k)/(F_kF_(k+n)),
(83)

卷积

sum_(k=0)^nF_kF_(n-k)=1/5(nL_n-F_n),
(84)

部分分式分解

1/(F_(n+a)F_(n+b)F_(n+c))=A/(F_(n+a))+B/(F_(n+b))+C/(F_(n+c)),
(85)

其中

A=((-1)^(n-a))/(F_(b-a)F_(c-a))
(86)
B=((-1)^(n-b))/(F_(c-b)F_(a-b))
(87)
C=((-1)^(n-c))/(F_(a-c)F_(b-c)),
(88)

和求和公式

sum_(k=0)^nx^kF_(ak+b)=(g(n+1)-g(0))/(1-L_ax+(-1)^ax^2),
(89)

其中

g(n)=(-1)^aF_(a(n-1)+b)x^(n+1)-F_(an+b)x^n.
(90)

无穷和包括

sum_(n=1)^infty((-1)^n)/(F_nF_(n+2))=2-sqrt(5)
(91)

(Clark 1995) 和

sum_(n=1)^(infty)((-1)^(n+1))/(F_(n+1)F_(n+2))=phi^(-2)
(92)
sum_(n=1)^(infty)1/(F_(2n)F_(2n+2))=phi^(-2),
(93)

其中 phi 是 黄金比例 (Wells 1986, p. 65)。

对于 n>=3，F_n|F_m 当且仅当 n|m (Wells 1986, p. 65)。L_n|L_m 当且仅当 n 能被 m 整除的次数为 奇数 次。(F_m,F_n)=F_((m,n)) (Michael 1964; Honsberger 1985, pp. 131-132)。没有 奇数 斐波那契数能被 17 整除 (Honsberger 1985, pp. 132 和 242)。没有斐波那契数 >8 永远是 形式为 p-1 或 p+1 的数，其中 p 是一个 素数 (Honsberger 1985, p. 133)。

考虑和

s_k=sum_(n=2)^(k)1/(F_(n-1)F_(n+1))
(94)
=sum_(n=2)^(k)(1/(F_(n-1)F_n)-1/(F_nF_(n+1))).
(95)

这是一个 telescoping sum，因此

s_k=1-1/(F_(k+1)F_(k+2)),
(96)

因此

S=lim_(k->infty)s_k=1
(97)

(Honsberger 1985, pp. 134-135)。使用 比内公式，也可以得出

(F_(n+r))/(F_n)=(alpha^(n+r)-beta^(n+r))/(alpha^n-beta^n)=(alpha^(n+r))/(alpha^n)(1-(beta/alpha)^(n+r))/(1-(beta/alpha)^n),
(98)

其中

alpha=1/2(1+sqrt(5))
(99)
beta=1/2(1-sqrt(5))
(100)

因此

lim_(n->infty)(F_(n+r))/(F_n)=alpha^r.
(101)
S^'=sum_(n=1)^infty(F_n)/(F_(n+1)F_(n+2))=1
(102)

(Honsberger 1985, pp. 138 和 242-243)。米林级数 的和为

S^('')=sum_(n=0)^infty1/(F_(2^n))=1/2(7-sqrt(5))
(103)

(Honsberger 1985, pp. 135-137)。

斐波那契数是 完全的。事实上，删除一个数字仍然留下一个 完全序列，尽管删除两个数字不会 (Honsberger 1985, pp. 123 和 126)。从斐波那契数中删除两项会产生一个甚至不是 弱完全序列 的序列 (Honsberger 1985, p. 128)。但是，序列

F_n^'=F_n-(-1)^n
(104)

是 弱完全的，即使删除任何有限子序列也是如此 (Graham 1964)。{F_n^2} 不是 完全的，但 {F_n^2}+{F_n^2} 是。2^(N-1) 份 {F_n^N} 是 完全的。

有关 平方数 斐波那契数的讨论，请参见 Cohn (1964ab)，他证明了唯一的 平方数 斐波那契数是 1 和 F_(12)=144 (Cohn 1964ab, Guy 1994)。Ming (1989) 证明了唯一的 三角形数 斐波那契数是 1, 3, 21 和 55。斐波那契数和 卢卡斯数 除了 1 和 3 之外没有共同项。唯一的 立方数 斐波那契数是 1 和 8。

(F_nF_(n+3),2F_(n+1)F_(n+2),F_(2n+3)=F_(n+1)^2+F_(n+2)^2)
(105)

是一个 勾股三元组，正如 Raine 首次发现的那样 (Livio 2002, p. 107)。

F_(4n)^2+8F_(2n)(F_(2n)+F_(6n))=(3F_(4n))^2
(106)

始终是一个 平方数 (Honsberger 1985, p. 243)。

1975 年，James P. Jones 表明，斐波那契数是 多项式 的 正整数 值

P(x,y)=-y^5+2y^4x+y^3x^2-2y^2x^3-y(x^4-2)
(107)

对于 高斯整数 x 和 y (Le Lionnais 1983)。如果 n 和 k 是两个 正 整数，那么在 n^k 和 n^(k+1) 之间，永远不会出现超过 n 个斐波那契数 (Honsberger 1985, pp. 104-105)。

斐波那契数满足恒等式

GCD(F_m,F_n)=F_(GCD(m,n)),
(108)

其中 GCD(a,b) 是 最大公约数。

斐波那契数列对于任何模数 m 都是周期性的 (Wall 1960)。这些周期被称为 皮萨诺周期 pi(m) (Wrench 1969)。斐波那契数模 m 对于小 m 的值在下表中列出，以及它们的 皮萨诺周期。

mpi(m)OEIS{F_n} (mod m)
23A0116551, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, ...
38A0821151, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, ...
46A0793431, 1, 2, 3, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 1, 0, 1, 1, 2, ...
520A0821161, 1, 2, 3, 0, 3, 3, 1, 4, 0, 4, 4, 3, 2, 0, ...
624A0821171, 1, 2, 3, 5, 2, 1, 3, 4, 1, 5, 0, 5, 5, 4, ...
716A0821161, 1, 2, 3, 5, 1, 6, 0, 6, 6, 5, 4, 2, 6, 1, ...
812A0793441, 1, 2, 3, 5, 0, 5, 5, 2, 7, 1, 0, 1, 1, 2, ...

另请参阅

Brown's Criterion, Cassini's Identity, Catalan's Identity, d'Ocagne's Identity, Fast Fibonacci Transform, Fibonacci Dual Theorem, Fibonacci n-Step Number, Fibonacci Polynomial, Fibonacci Prime, Fibonacci Q-Matrix, Fibonomial Coefficient, Fibonorial, Gelin-Cesàro Identity, Generalized Fibonacci Number, Inverse Tangent, Linear Recurrence Equation, Lucas Sequence, Near Noble Number, Pell Number, Pisano Period, Rabbit Constant, Random Fibonacci Sequence, Reciprocal Fibonacci Constant, Stolarsky Array, Tetranacci Number, Tribonacci Number, Wythoff Array, Zeckendorf Representation, Zeckendorf's Theorem 在 MathWorld 课堂中探索此主题

相关的 Wolfram 网站

http://functions.wolfram.com/IntegerFunctions/Fibonacci/

本条目的部分内容由 Pravin Chandra 贡献

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Amend, B. "FoxTrot.com." Cartoon from Oct. 11, 2005. http://www.foxtrot.com/.Ball, W. W. R. and Coxeter, H. S. M. Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. New York: Dover, pp. 56-57, 1987.Basin, S. L. and Hoggatt, V. E. Jr. "A Primer on the Fibonacci Sequence." Fib. Quart. 1, 65-72, 1963.Basin, S. L. and Hoggatt, V. E. Jr. "A Primer on the Fibonacci Sequence--Part II." Fib. Quart. 1, 61-68, 1963.Borwein, J. M. and Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, pp. 94-101, 1987.Brillhart, J.; Montgomery, P. L.; and Silverman, R. D. "Tables of Fibonacci and Lucas Factorizations." Math. Comput. 50, 251-260 and S1-S15, 1988.Brook, M. "Fibonacci Formulas." Fib. Quart. 1, 60, 1963.Brousseau, A. "Fibonacci Numbers and Geometry." Fib. Quart. 10, 303-318, 1972.Brown, D. The Da Vinci Code. New York: Doubleday, 2003.Clark, D. Solution to Problem 10262. Amer. Math. Monthly 102, 467, 1995.Cohn, J. H. E. "On Square Fibonacci Numbers." J. London Math. Soc. 39, 537-541, 1964a.Cohn, J. H. E. "Square Fibonacci Numbers, etc." Fib. Quart. 2, 109-113, 1964b.Conway, J. H. and Guy, R. K. "Fibonacci Numbers." In The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 111-113, 1996.Coxeter, H. S. M. "The Golden Section and Phyllotaxis." Ch. 11 in Introduction to Geometry, 2nd ed. New York: Wiley, 1969.Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., p. 41, 1967.Devaney, R. "The Mandelbrot Set and the Farey Tree, and the Fibonacci Sequence." Amer. Math. Monthly 106, 289-302, 1999.Dickau, R. M. "Fibonacci Numbers." http://www.prairienet.org/~pops/fibboard.html.Freitag, H. Solution to Problem B-772. "An Integral Ratio." Fib. Quart. 34, 82, 1996.Gardner, M. Mathematical Circus: More Puzzles, Games, Paradoxes and Other Mathematical Entertainments from Scientific American. New York: Knopf, 1979.Graham, R. "A Property of Fibonacci Numbers." Fib. Quart. 2, 1-10, 1964.Graham, R. L.; Knuth, D. E.; and Patashnik, O. "Fibonacci Numbers." §6.6 in Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 290-301, 1994.Guy, R. K. "The Second Strong Law of Small Numbers." Math. Mag. 63, 3-20, 1990.Guy, R. K. "Fibonacci Numbers of Various Shapes." §D26 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 194-195, 1994.Halton, J. H. "On a General Fibonacci Identity." Fib. Quart. 3, 31-43, 1965.Hilton, P.; Holton, D.; and Pedersen, J. "Fibonacci and Lucas Numbers." Ch. 3 in Mathematical Reflections in a Room with Many Mirrors. New York: Springer-Verlag, pp. 61-85, 1997.Hilton, P. and Pedersen, J. "Fibonacci and Lucas Numbers in Teaching and Research." J. Math. Informatique 3, 36-57, 1991-1992.Hilton, P. and Pedersen, J. "A Note on a Geometrical Property of Fibonacci Numbers." Fib. Quart. 32, 386-388, 1994.Hoffman, P. The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erdős and the Search for Mathematical Truth. New York: Hyperion, p. 208, 1998.Hoggatt, V. E. Jr. The Fibonacci and Lucas Numbers. Boston, MA: Houghton Mifflin, 1969.Hoggatt, V. E. Jr. and Ruggles, I. D. "A Primer on the Fibonacci Sequence--Part III." Fib. Quart. 1, 61-65, 1963.Hoggatt, V. E. Jr. and Ruggles, I. D. "A Primer on the Fibonacci Sequence--Part IV." Fib. Quart. 1, 65-71, 1963.Hoggatt, V. E. Jr. and Ruggles, I. D. "A Primer on the Fibonacci Sequence--Part V." Fib. Quart. 2, 59-66, 1964.Hoggatt, V. E. Jr.; Cox, N.; and Bicknell, M. "A Primer for the Fibonacci Numbers: Part XII." Fib. Quart. 11, 317-331, 1973.Honsberger, R. "A Second Look at the Fibonacci and Lucas Numbers." Ch. 8 in Mathematical Gems III. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1985.Johnson, B. "Fibonacci Resources." http://www.dur.ac.uk/bob.johnson/fibonacci/.Johnson, B. "Fibonacci Identities by Matrix Methods and Generalisation to Related Sequences." March 25, 2003. http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf.Kelly, B. "Fibonacci and Lucas Factorizations." http://home.att.net/~blair.kelly/mathematics/fibonacci/.Kepler, J. The Six-Cornered Snowflake. Oxford, England: Oxford University Press, 1966.Knott, R. "Fibonacci Numbers and the Golden Section." http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html.Knuth, D. E. The Art of Computer Programming, Vol. 1: Fundamental Algorithms, 3rd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1997.Koshy, T. Fibonacci and Lucas Numbers with Applications. New York: Wiley-Interscience, 2001.Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, p. 146, 1983.Update a linkLeyland, P. ftp://sable.ox.ac.uk/pub/math/factors/fibonacci.ZLivio, M. The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number. New York: Broadway Books, 2002.Matiyasevich, Yu. V. "Solution to of the Tenth Problem of Hilbert." Mat. Lapok 21, 83-87, 1970.Matijasevich, Yu. V. Hilbert's Tenth Problem. Cambridge, MA: MIT Press, 1993. http://www.informatik.uni-stuttgart.de/ifi/ti/personen/Matiyasevich/H10Pbook/.Michael, G. "A New Proof for an Old Property." Fib. Quart. 2, 57-58, 1964.Ming, L. "On Triangular Fibonacci Numbers." Fib. Quart. 27, 98-108, 1989.Ogilvy, C. S. and Anderson, J. T. "Fibonacci Numbers." Ch. 11 in Excursions in Number Theory. New York: Dover, pp. 133-144, 1988.Pappas, T. "Fibonacci Sequence," "Pascal's Triangle, the Fibonacci Sequence & Binomial Formula," "The Fibonacci Trick," and "The Fibonacci Sequence & Nature." The Joy of Mathematics. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, pp. 28-29, 40-41, 51, 106, and 222-225, 1989.Pegg, E. Jr. "Math Games: Sequence Pictures." Dec. 8, 2003. http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_12_08_03.html.Peterson, I. "Math Trek: Fibonacci's Missing Flowers." June 3, 2006. http://www.sciencenews.org/articles/20060603/mathtrek.asp.Petkovšek, M.; Wilf, H. S.; and Zeilberger, D. A=B. Wellesley, MA: A K Peters, p. 12, 1996. http://www.cis.upenn.edu/~wilf/AeqB.html.Ram, R. "Fibonacci Formulae." http://users.tellurian.net/hsejar/maths/fibonacci/.Reid, C. Julia: A Life in Mathematics. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1997.Reiter, C. "Fast Fibonacci Numbers." Mathematica J. 2, 58-60, 1992.Schroeder, M. Fractals, Chaos, Power Laws: Minutes from an Infinite Paradise. New York: W. H. Freeman, pp. 49-57, 1991.Séroul, R. "The Fibonacci Numbers." §2.13 in Programming for Mathematicians. Berlin: Springer-Verlag, pp. 21-22, 2000.Shorey, T. N. and Stewart, C. L. "On Divisors of Fermat, Fibonacci, Lucas and Lehmer Numbers, 2." J. London Math. Soc. 23, 17-23, 1981.Sloane, N. J. A. Sequences A000045/M0692, A001605/M2309, A005181/M0693, A005478/M0741, A011655, A037917, A037918, A053408, A052449, A053413, A068070, A072353, A079343, A079344, A082115, A082116, A082117, A082118, A089260, and A097348 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Smith, H. J. "Fibonacci Numbers." http://www.geocities.com/hjsmithh/Fibonacc.html.Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, pp. 46-47 and 299, 1999.Stewart, C. L. "On Divisors of Fermat, Fibonacci, Lucas and Lehmer Numbers." Proc. London Math. Soc. 35, 425-447, 1977.Szymkiewicz, D. "Sur la portée de la loi de Ludwig." Acta Soc. Botanicorum Poloniae 5, 390-395, 1928.Vogler, P. "Das 'Ludwig'sche Gipfelgesetz' und seine Tragweite." Flora 104, 123-128, 1912.Vorob'ev, N. N. Fibonacci Numbers. New York: Blaisdell, 1961.Wall, D. D. "Fibonacci Series Modulo m." Amer. Math. Monthly 67, 525-532, 1960.Weisstein, E. W. "Books about Fibonacci Numbers." http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/FibonacciNumbers.html.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Middlesex, England: Penguin Books, pp. 61-67, 1986.Wrench, J. W. "Review of B. H. Hannon and W. L. Morris, Tables of Arithmetical Functions Related to the Fibonacci Numbers." Math. Comput. 23, 459-460, 1969.Zyliński, E. "Numbers of Fibonacci in Biological Statistics." Atti del Congr. internaz. matematici 4, 153-156, 1928.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

斐波那契数

请引用为

Chandra, Pravin 和 Weisstein, Eric W. "斐波那契数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/FibonacciNumber.html

学科分类