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黄金比例

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黄金比例，也称为神圣比例、黄金平均数或黄金分割，是一个在简单几何图形（如五边形、五角星、十边形和十二面体）中计算距离比率时经常遇到的数字。它用符号 phi 表示，有时也用 tau 表示。

“phi”（对于黄金比例共轭 1/phi）和“Phi”（对于较大的量 phi）的 designation 有时也被使用 (Knott)，尽管不一定推荐这种用法。

术语“黄金分割”（在德语中，goldener Schnitt 或 der goldene Schnitt）似乎最早由 Martin Ohm 在 1835 年第二版教科书 Die Reine Elementar-Mathematik 中使用（Livio 2002, p. 6）。这个术语在英语中首次被知晓的使用是在 James Sulley 1875 年发表于第 9 版大英百科全书中关于美学的文章中。符号 phi (“phi”) 显然在 20 世纪初由 Mark Barr 首次使用，以纪念希腊雕塑家菲狄亚斯（约公元前 490-430 年），一些艺术史学家声称菲狄亚斯在他的作品中广泛使用了黄金比例 (Livio 2002, pp. 5-6)。类似地，备用符号 tau 是希腊语 tome 的缩写，意思是“切割”。

在电视剧犯罪剧 数字追凶 第一季剧集“破坏”（2005 年）中，数学天才 Charlie Eppes 提到在吉萨金字塔和雅典帕特农神庙中发现了黄金比例。同样，小说 达芬奇密码 中的人物罗伯特·兰登也做了类似的陈述 (Brown 2003, pp. 93-95)。然而，关于黄金比例在艺术、建筑、雕塑、解剖学等领域显著出现的意义的说法往往被大大夸大了。

phi 与连分数和欧几里得算法（用于计算两个整数的最大公约数）有着令人惊讶的联系。

GoldenRatio

给定一个边长比为 1:x 的矩形，phi 被定义为唯一的数字 x，使得将原始矩形分割成一个正方形和一个新的矩形（如上图所示）会得到一个新的矩形，其边长比也为 1:x（即，使得上面显示的黄色矩形是相似的）。这样的矩形被称为黄金矩形，将黄金矩形连续分割成正方形的点位于对数螺旋上，形成一个被称为回旋正方形的图形。

基于上述定义，可以立即看出

phi/1=1/(phi-1),
(1)

得出

phi^2-phi-1=0.
(2)
GoldenRatioExtremeAndMean

欧几里得在公元前 300 年左右给出了 phi 的等效定义，通过在线段上所谓的“极端和平均比率”来定义它，即，使得

phi=(AC)/(CB)=(AB)/(AC)
(3)

对于上面图示的线段 AB (Livio 2002, pp. 3-4)。代入，

(phi+1)/phi=phi,
(4)

并清除分母得到

phi^2-phi-1=0,
(5)

这与上面获得的公式完全相同（并且顺便意味着 phi 是一个 2 次代数数。）使用二次方程并取正号（因为该图被定义为 phi>1）得出 phi 的精确值，即

phi=1/2(1+sqrt(5))
(6)
=1.618033988749894848204586834365638117720...
(7)

(OEIS A001622)。出现在十进制展开的连续数字（从第一个开始）中的素数被称为 phi-素数。

在明显公然误解了精确量和近似值之间的区别的情况下，小说 达芬奇密码 中的人物罗伯特·兰登错误地将黄金比例定义为精确值 1.618 (Brown 2003, pp. 93-95)。

黄金三角形（等腰三角形，顶角为 36 degrees）的腰与其底边成黄金比例，事实上，这就是毕达哥拉斯用来构造 phi 的方法。外接圆半径与十边形边长的比率也是 phi，

R/s=1/2csc(pi/(10))=1/2(1+sqrt(5))=phi.
(8)

平分（示意性的）高卢十字也会得到黄金比例 (Gardner 1961, p. 102)。

phi 的精确三角公式包括

phi=2cos(pi/5)
(9)
=1/2sec((2pi)/5)
(10)
=1/2csc(pi/(10)).
(11)

黄金比例由级数给出

phi=(13)/8+sum_(n=0)^infty((-1)^(n+1)(2n+1)!)/((n+2)!n!4^(2n+3))
(12)

(B. Roselle)。与斐波那契数的另一个有趣的联系由级数给出

phi=1+sum_(n=1)^infty((-1)^(n+1))/(F_nF_(n+1)).
(13)

用嵌套根式表示为

phi=sqrt(1+sqrt(1+sqrt(1+sqrt(1+...))))
(14)

(Livio 2002, p. 83)。这等价于递推方程

a_n^2=a_(n-1)+1
(15)

其中 a_1=1，得出 lim_(n->infty)a_n=phi。

phi 是有理数逼近的“最差”实数，因为它的连分数表示

phi=[1,1,1,...]
(16)
=1+1/(1+1/(1+1/(1+...)))
(17)

(OEIS A000012；Williams 1979, p. 52；Steinhaus 1999, p. 45；Livio 2002, p. 84) 在其无限多个分母中都具有最小可能的项 (1)，因此给出的收敛项比任何其他连分数收敛得都慢。特别是，收敛项 x_n=p_n/q_n 由二次递推方程给出

x_n=1+1/(x_(n-1)),
(18)

其中 x_1=1，其解为

x_n=(F_(n+1))/(F_n),
(19)

其中 F_n 是第 n 个斐波那契数。这给出了前几个收敛项：1, 2, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, ... (OEIS A000045 和 A000045)，它们分别精确到 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, ... (OEIS A114540) 位十进制数字。

因此，

phi=lim_(n->infty)x_n=lim_(n->infty)(F_n)/(F_(n-1)),
(20)

正如苏格兰数学家 Robert Simson 在 1753 年首次证明的那样 (Wells 1986, p. 62; Livio 2002, p. 101)。

黄金比例也满足递推关系

phi^n=phi^(n-1)+phi^(n-2).
(21)

取 n=1 得到特例

phi=phi^(-1)+1.
(22)

将 (21) 视为线性递推方程

phi(n)=phi(n-1)+phi(n-2)
(23)

在 phi(n)=phi^n 中，设置 phi(0)=1 和 phi(1)=phi，求解得到

phi(n)=phi^n,
(24)

正如预期的那样。黄金比例的幂也满足

phi^n=F_nphi+F_(n-1),
(25)

其中 F_n 是一个斐波那契数 (Wells 1986, p. 39)。

涉及 phi 的某些复数的正弦给出了特别简单的答案，例如

sin(ilnphi)=1/2i
(26)
sin(1/2pi-ilnphi)=1/2sqrt(5)
(27)

(D. Hoey，私人通信)。

GoldenRatioRectangle

在上图中，可以将三个三角形内接到任意纵横比 1:r 的矩形 ABCD 中，通过以黄金比例分割 AB 和 BC，使得三个直角三角形具有相等的面积。然后

K_(DeltaADE)=1/2·r(1+phi)·1=1/2rphi^2
(28)
K_(DeltaBEF)=1/2·rphi·phi=1/2rphi^2
(29)
K_(DeltaCDF)=1/2(1+phi)·r=1/2rphi^2,
(30)

它们都相等。反之亦然，即如果矩形的邻边以任何比例分割并以相同方式连接，那么如果三个外部三角形的面积都相等，则两个分割边都成黄金比例 (D. J. Lewis，私人通信，2009 年 6 月 11 日)。

GoldenRatioRecurrence

替换系统

0->01
(31)
1->0
(32)

给出

0->01->010->01001->...,
(33)

产生序列

0100101001001010010100100101...
(34)

(OEIS A003849)。这里，零出现在位置 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, ... (OEIS A000201)，而一出现在位置 2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, ... (OEIS A001950)。这些是由 |_nphi_| 和 |_nphi^2_| 生成的互补贝蒂序列。这个序列也与斐波那契数有很多联系。它在上面被绘制为（模 2）的递归图。

GoldenRatioKhinchinLevy

设 phi 的连分数为 [a_0;a_1,a_2,...]，并设收敛项的分母表示为 q_1、q_2、...、q_n。从上面的图中可以看出，phi 的连分数的规律性意味着 phi 是一组测度为 0 的数字之一，它们的连分数序列不收敛到辛钦常数或莱维常数。

黄金比例的恩格尔展开为 1, 2, 5, 6, 13, 16, 16, 38, 48, 58, 104, ... (OEIS A028259)。

GoldenRatioIntervals

Steinhaus（1999, pp. 48-49）考虑了 nphi 的小数部分在由 0、1/n、2/n、...、(n-1)/n、1 界定的区间内的分布，并指出它们的分布比偶然预期的要均匀得多（即，frac(nphi) 接近于一个等分布序列）。特别是，n=1、2、... 的空区间的数量仅仅是 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 1, 0, 2, 2, ... (OEIS A036414)。没有留下空白箱的 n 值然后由 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 13, 16, 21, 34, 55, 89, 144, ... (OEIS A036415) 给出。Steinhaus (1983) 评论说，高度均匀的分布根植于 phi 的连分数。

序列 {frac(x^n)}，即幂小数部分，其中 frac(x) 是小数部分，对于几乎所有实数 x>1 都是等分布的，黄金比例是其中一个例外。

Salem 表明，皮索数的集合是闭集，phi 是该集合的最小累积点 (Le Lionnais 1983)。

另请参阅

Beraha 常数, 十边形, 等分布序列, 欧几里得算法, 五个圆盘问题, 黄金角, 黄金日晷, 黄金比例近似值, 黄金比例共轭, 黄金比例数字, 黄金矩形, 黄金三角形, 二十面十二面体, 高贵数, 五边形, 五角星, Phi 数字系统, Phi-素数, 叶序, 皮索数, 塑料常数, 幂小数部分, 拉马努金连分数, Rogers-Ramanujan 连分数, 正割法 在 MathWorld 课堂中探索这个主题

相关的 Wolfram 网站

http://functions.wolfram.com/Constants/GoldenRatio/

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参考文献

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在 Wolfram|Alpha 上被引用

黄金比例

请引用为

Weisstein, Eric W. “黄金比例”。来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。https://mathworld.net.cn/GoldenRatio.html

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