立方数

立方数是一种 图形数 形式为 ，其中 是 正整数。前几个是 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, ... (OEIS A000578)。小说深夜小狗神秘事件的主人公克里斯托弗背诵立方数来让自己平静下来，并防止自己想打人（Haddon 2003, p. 213）。

给出立方数的生成函数是

六角锥数等价于立方数 (Conway and Guy 1996)。

上面的图表显示了以二进制表示的前 255 个（上图）和 511 个（下图）立方数。

波洛克 (Pollock) (1843-1850) 推测每个数都是最多 9 个立方数的和 (Dickson 2005, p. 23)。作为华林问题研究的一部分，已知每个正整数都是不超过 9 个正立方数的和 (，由 Dickson、Pillai 和 Niven 在二十世纪初证明)，并且每个“足够大的”整数都是不超过 7 个正立方数的和 ()。然而，尚不清楚 7 是否可以减少 (Wells 1986, p. 70)。表示数字 1, 2, 3, ... 所需的正立方数个数为 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 2, ...(OEIS A002376)，以及用正立方数表示数字 1, 2, 3, ... 的不同方式的数量为 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, ... (OEIS A003108)。

1939 年，Dickson 证明唯一需要九个正立方数的整数是 23 和 239。Wieferich 证明只有 15 个整数需要八个立方数：15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428 和 454 (OEIS A018889)。因此，华林问题中的量 满足 ，并且已知需要七个立方数的最大数是 8042。Deshouillers等人。(2000) 推测 7373170279850 是不能表示为四个非负立方数之和的最大整数。

下表给出了表示为和至少需要 , 2, 3, ..., 9 （即 个或更多）正立方数的首几个数字。

存在一个有限的数字集合，它们不能表示为不同的正立方数之和：2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, ...(OEIS A001476)。

已知每个整数都是最多 5 个带符号立方数的和 ( 在 华林问题中)。据信 5 可以减少到 4，因此

对于任何数字 ，尽管这尚未对 形式为 的数字进行证明。然而，由于代数恒等式，每个 6 的倍数都可以表示为四个带符号立方数的和

事实上，已知所有 且不是 形式为 的数字都可以表示为和

三个（正或负）立方数的和，但以下数字除外：, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921 和 975 (Miller and Woollett 1955; Gardiner et al. 1964; Guy 1994, p. 151; Mishima; Elsenhaus and Jahnel 2007; Booker; Huisman 2016)。示例包括

虽然已知对于 为 形式的方程 (◇) 没有解 (Hardy and Wright 1979, p. 327)，但排除上述整数是有已知原因的 (Gardiner et al. 1964)。Mahler 证明 1 有无限多种表示为三个带符号立方数的方式。

如果也排除 形式的数字，则每个数字都可以表示为四个带符号立方数的和，使用以下代数恒等式之一，或其互补恒等式（通过 ）

这些恒等式以及 的证明由 Demjanenko 给出 (Demjanenko 1966, Cohen 2004)。

下表给出了可以精确地以 种不同方式表示为 个正立方数之和的数字。（将给定 的所有 组合起来，就可以得到上表中的序列。）例如，

可以用 种方式表示为 个立方数的和。可以用 种方式表示为 个立方数之和的最小数字，

被称为哈代-拉马努金数，并且由于哈代讲述的关于拉马努金的故事，在数学史上具有特殊的意义。请注意，OEIS A001235 被定义为以两种或更多种方式表示为立方数之和的数字序列，因此在前几项中看起来与下面给出的 系列相同。

下表给出了 到 20 的立方数的可能余数（模 ），以及不同余数的数量 。

杜德尼发现了两个不同于 1 和 2 的有理数，它们的立方和为九，

(Gardner 1958)。寻找两个立方和为六的有理数的问题被勒让德“证明”是不可能的。然而，杜德尼找到了简单的解 17/21 和 37/21。

立方和为立方数的唯一三个连续整数由丢番图方程给出

卡塔兰猜想指出 8 和 9 ( 和 ) 是唯一的连续幂（不包括 0 和 1），即 卡塔兰丢番图问题的唯一解。这个猜想尚未被证明或反驳，尽管 R. Tijdeman 已经证明，如果该猜想不成立，则可能只有有限数量的例外。也已知 8 和 9 是唯一的连续立方数和平方数（无论顺序）。

有六个正整数等于其立方数的数字之和：1、8、17、18、26 和 27 (OEIS A046459; Moret Blanc 1879)。有四个正整数等于其数字的立方和

(Ball and Coxeter 1987)。有两个 形式为 的平方数： 和 (Le Lionnais 1983)。一个立方数不能是两个立方数的串联，因为如果 是 和 的串联，则 ，其中 是 中的位数。在将 中的任何 1000 的幂移入 后，原始问题等效于找到以下丢番图方程之一的解

这些方程都没有整数解，正如 Sylvester、Lucas 和 Pepin 独立证明的那样 (Dickson 2005, pp. 572-578)。