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兔子常数

极限兔子序列，写成二进制分数 0.1011010110110..._2 (OEIS A005614)，其中 b_2 表示二进制数（以 2 为基数的数）。 十进制值为

R=0.7098034428612913146...
(1)

(OEIS A014565)。

令人惊讶的是，兔子常数也由连分数 [0; 2^(F_0), 2^(F_1), 2^(F_2), 2^(F_3), ...] = [2, 2, 4, 8, 32, 256, 8192, 2097152, 17179869184, ...] (OEIS A000301) 给出，其中 F_n 是斐波那契数，其中 F_0 取为 0 (Gardner 1989, Schroeder 1991)。 S. Plouffe 发现了另一个惊人的联系。定义贝亚蒂序列 {a_i} 为

a_i=|_iphi_|,
(2)

其中 |_x_| 是向下取整函数，phi 是黄金比例。前几项是 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, ... (OEIS A000201)。那么

R=sum_(i=1)^infty2^(-a_i).
(3)

这是魔鬼阶梯函数的一个特例，其中 x=1/phi。

R 的无理测度是 1+phi (D. Terr, 私人通信，2004 年 5 月 21 日)。

另请参阅

魔鬼阶梯, 兔子序列, 图厄常数, 图厄-摩尔斯常数

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参考文献

Anderson, P. G.; Brown, T. C.; 和 Shiue, P. J.-S. "一个非凡的连分数恒等式的简单证明。" Proc. Amer. Math. Soc. 123, 2005-2009, 1995.Finch, S. R. "Prouhet-Thue-Morse 常数。" §6.8 在 数学常数。 剑桥，英格兰：剑桥大学出版社，pp. 436-441, 2003.Gardner, M. 彭罗斯瓷砖和后门密码......以及矩阵博士的回归，再版。 纽约：W. H. Freeman, pp. 21-22, 1989.Schroeder, M. 分形、混沌、幂定律：来自无限天堂的瞬间。 纽约：W. H. Freeman, p. 55, 1991.Sloane, N. J. A. 序列 A000301, A000201/M2322, A005614, 和 A014565 在 "整数序列在线百科全书" 中。

在 Wolfram|Alpha 上被引用

兔子常数

引用为

Weisstein, Eric W. "兔子常数。" 来自 MathWorld--一个 Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/RabbitConstant.html

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