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行列式

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行列式是在线性方程组的分析和求解中非常有用的数学对象。正如克莱姆法则所示，一个非齐次线性方程组有唯一解，当且仅当该系统的矩阵的行列式非零时（即，该矩阵是非奇异的）。例如，从以下方程中消去 x, y, 和 z

a_1x+a_2y+a_3z=0
(1)
b_1x+b_2y+b_3z=0
(2)
c_1x+c_2y+c_3z=0
(3)

得到表达式

a_1b_2c_3-a_1b_3c_2+a_2b_3c_1-a_2b_1c_3+a_3b_1c_2-a_3b_2c_1=0,
(4)

这被称为该方程组的行列式。行列式仅为方阵定义。

如果一个矩阵的行列式为 0，则该矩阵被称为奇异的，如果行列式为 1，则该矩阵被称为幺模的。

一个矩阵 A 的行列式，

|a_1 a_2 ... a_n; b_1 b_2 ... b_n; | | ... |; z_1 z_2 ... z_n|
(5)

通常表示为 det(A), |A|, 或在分量表示法中表示为 sum(+/-a_1b_2c_3...), D(a_1b_2c_3...), 或 |a_1b_2c_3...| (Muir 1960, p. 17)。请注意，符号 det(A) 在表示行列式的绝对值时可能更方便，即 |det(A)| 而不是 ||A||。行列式在Wolfram 语言中实现为Det[m].

一个 2×2 行列式定义为

det[a b; c d]=|a b; c d|=ad-bc.
(6)

一个 k×k 行列式可以“按子式”展开以获得

|a_(11) a_(12) a_(13) ... a_(1k); a_(21) a_(22) a_(23) ... a_(2k); | | | ... |; a_(k1) a_(k2) a_(k3) ... a_(kk)|=a_(11)|a_(22) a_(23) ... a_(2k); | | ... |; a_(k2) a_(k3) ... a_(kk)| -a_(12)|a_(21) a_(23) ... a_(2k); | | ... |; a_(k1) a_(k3) ... a_(kk)|+...+/-a_(1k)|a_(21) a_(22) ... a_(2(k-1)); | | ... |; a_(k1) a_(k2) ... a_(k(k-1))|.
(7)

一个矩阵 A 的一般行列式的值为

|A|=sum_(i=1)^ka_(ij)C_(ij),
(8)

其中没有对 j 的隐含求和，并且 C_(ij) （也表示为 a^(ij)) 是由以下公式定义的 a_(ij) 的余子式

C_(ij)=(-1)^(i+j)M_(ij).
(9)

而 M_(ij) 是通过从 A 中消除行 i 和列 j 形成的矩阵 A 的子式。这个过程被称为按子式展开行列式（或“拉普拉斯按子式展开”，有时进一步简称为“拉普拉斯展开”）。

行列式也可以通过写下 {1,...,n} 的所有排列来计算，将每个排列作为字母 a, b, ..., 的下标，并使用由 epsilon_p=(-1)^(i(p)) 确定的符号求和，其中 i(p) 是排列 p 中排列逆序的数量（Muir 1960, p. 16），而 epsilon_(n_1n_2...) 是排列符号。例如，对于 n=3，排列及其包含的逆序数是 123 (0)、132 (1)、213 (1)、231 (2)、312 (2) 和 321 (3)，因此行列式由下式给出

|a_1 a_2 a_3; b_1 b_2 b_3; c_1 c_2 c_3| =a_1b_2c_3-a_1b_3c_2-a_2b_1c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2-a_3b_2c_1.
(10)

如果 a 是一个常数，而 A 是一个 n×n 方阵，那么

|aA|=a^n|A|.
(11)

给定一个 n×n 行列式，加法逆元是

|-A|=(-1)^n|A|.
(12)

行列式也是可分配的，所以

|AB|=|A||B|.
(13)

这意味着矩阵逆的行列式可以如下找到

|I|=|AA^(-1)|=|A||A^(-1)|=1,
(14)

其中 I 是单位矩阵，所以

|A|=1/(|A^(-1)|).
(15)

行列式在行和列中是多线性的，因为

|a_1 a_2 a_3; a_4 a_5 a_6; a_7 a_8 a_9|=|a_1 0 0; a_4 a_5 a_6; a_7 a_8 a_9|+|0 a_2 0; a_4 a_5 a_6; a_7 a_8 a_9|+|0 0 a_3; a_4 a_5 a_6; a_7 a_8 a_9|
(16)

并且

|a_1 a_2 a_3; a_4 a_5 a_6; a_7 a_8 a_9|=|a_1 a_2 a_3; 0 a_5 a_6; 0 a_8 a_9|+|0 a_2 a_3; a_4 a_5 a_6; 0 a_8 a_9|+|0 a_2 a_3; 0 a_5 a_6; a_7 a_8 a_9|.
(17)

矩阵的相似变换的行列式等于原始矩阵的行列式

|BAB^(-1)|=|B||A||B^(-1)|
(18)
=|B||A|1/(|B|)
(19)
=|A|.
(20)

相似变换减去单位矩阵的倍数的行列式由下式给出

|B^(-1)AB-lambdaI|=|B^(-1)AB-B^(-1)lambdaIB|
(21)
=|B^(-1)(A-lambdaI)B|
(22)
=|B^(-1)||A-lambdaI||B|
(23)
=|A-lambdaI|.
(24)

转置的行列式等于原始矩阵的行列式，

|A|=|A^(T)|,
(25)

而复共轭的行列式等于行列式的复共轭

|A^_|=|A|^_.
(26)

设 epsilon 为一个小数字。那么

|I+epsilonA|=1+epsilonTr(A)+O(epsilon^2),
(27)

其中 Tr(A) 是 A 的矩阵迹。对于三角矩阵，行列式呈现出特别简单的形式

|a_(11) a_(21) ... a_(k1); 0 a_(22) ... a_(k2); | | ... |; 0 0 ... a_(kk)|=product_(n=1)^ka_(nn).
(28)

行列式的重要性质包括以下内容，其中包括在初等行和列运算下的不变性。

1. 交换两行或两列会改变符号。

2. 标量可以从行和列中分解出来。

3. 行和列的倍数可以相加，而不会改变行列式的值。

4. 一行乘以常数 c 的标量乘法会将行列式乘以 c。

5. 行列式如果有一行或一列为零，则其值为 0。

6. 任何具有两行或两列相等的行列式的值都为 0。

性质 1 可以通过归纳法建立。对于一个 2×2 矩阵，行列式为

|a_1 b_1; a_2 b_2|=a_1b_2-b_1a_2
(29)
=-(b_1a_2-a_1b_2)
(30)
=-|b_1 a_1; b_2 a_2|
(31)

对于一个 3×3 矩阵，行列式为

|a_1 b_1 c_1; a_2 b_2 c_2; a_3 b_3 c_3|=a_1|b_2 c_2; b_3 c_3|-b_1|a_2 c_2; a_3 c_3|+c_1|a_2 b_2; a_3 b_3| =-(a_1|c_2 b_2; c_3 b_3|+b_1|a_2 c_2; a_3 c_3|-c_1|a_2 b_2; a_3 b_3|)=-|a_1 c_1 b_1; a_2 c_2 b_2; a_3 c_3 b_3| =-(-a_1|b_2 c_2; b_3 c_3|+b_1|a_2 c_2; a_3 c_3|+c_1|b_2 a_2; b_3 a_3|)=-|b_1 a_1 c_1; b_2 a_2 c_2; b_3 a_3 c_3| =-(a_1|c_2 b_2; c_3 b_3|-b_1|c_2 a_2; c_3 a_3|+c_1|b_2 a_2; b_3 a_3|)=-|c_1 b_1 a_1; c_2 b_2 a_2; c_3 b_3 a_3|.
(32)

性质 2 同样成立。对于 2×2 和 3×3 矩阵，

|ka_1 b_1; ka_2 b_2|=k(a_1b_2)-k(b_1a_2)
(33)
=k|a_1 b_1; a_2 b_2|
(34)

并且

|ka_1 b_1 c_1; ka_2 b_2 c_2; ka_3 b_3 c_3|=ka_1|b_2 c_2; b_3 c_3|-b_1|ka_2 c_2; ka_3 c_3|+c_1|ka_2 b_2; ka_3 b_3|
(35)
=k|a_1 b_1 c_1; a_2 b_2 c_2; a_3 b_3 c_3|.
(36)

性质 3 由以下恒等式得出

|a_1+kb_1 b_1 c_1; a_2+kb_2 b_2 c_2; a_3+kb_3 b_3 c_3|=(a_1+kb_1)|b_2 c_2; b_3 c_3|-b_1|a_2+kb_2 c_2; a_3+kb_3 c_3|+c_1|a_2+kb_2 b_2; a_3+kb_3 b_3|.
(37)

如果 a_(ij) 是一个 n×n 矩阵，其中 a_(ij) 是实数，那么 det[a_(ij)] 可以解释为由列向量 [a_(i,1)], ..., [a_(i,n)] 在 R^n 中张成的平行多面体的定向 n 维内容。这里，“定向”意味着，在 + 或 - 符号的改变范围内，该数值是 n 维内容，但符号取决于所涉及的列向量的“方向”。如果它们与标准方向一致，则为 + 符号；否则，为 - 符号。由 n 维向量 v_1 到 v_i 张成的平行多面体是点的集合

t_1v_1+...+t_iv_i,
(38)

其中 t_j 是闭区间 [0,1] 中的实数。

一些说法称，刘易斯·卡罗尔（查尔斯·道奇森）曾向维多利亚女王赠送了一本他的数学著作，其中一种说法是《行列式初等论》。Heath（1974）指出：“一个广为流传的故事讲述了维多利亚女王被《爱丽丝梦游仙境》迷住，表示希望收到作者的下一部作品，结果在适当的时候，收到了一本忠诚地题写了题词的《行列式初等论》”，而 Gattegno（1974）则断言“维多利亚女王非常喜欢《爱丽丝》，表示希望收到作者的其他书籍，并被送去了一本道奇森的数学著作。” 然而，在《符号逻辑》（1896）中，卡罗尔声明：“我借此机会尽可能公开地反驳一个愚蠢的故事，这个故事一直在报纸上流传，说我曾向女王陛下赠送过某些书籍。它被不断重复，并且完全是虚构的，我认为有必要一劳永逸地声明，它在每个细节上都是完全错误的：甚至没有发生任何类似的事情”（米克尔森和米克尔森）。

DetComplexMatrix

哈达玛（1893）表明，条目在单位圆盘中的复数 n×n 矩阵的行列式的绝对值满足

|detA|<=n^(n/2)
(39)

（Brenner 1972）。上面的图显示了随机 n×n 复矩阵的行列式的分布，其中条目满足 |a_(ij)|<1，对于 n=2、3 和 4。

另请参阅

凯莱-门格尔行列式, 基奥主元凝结法, 循环行列式, 余子式, 凝结法, 克莱姆法则, 按子式展开行列式, 行列式恒等式, 初等行和列运算, 哈达玛最大行列式问题, 黑塞矩阵, 超行列式, 积和式, 雅可比矩阵, 纽结行列式, 矩阵, 子式, 积和式, 普法夫行列式, 奇异矩阵, 西尔维斯特行列式恒等式, 西尔维斯特矩阵, 方程组, 幺模矩阵, 范德蒙行列式, 朗斯基行列式 在 MathWorld 课堂中探索此主题

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参考文献

Andrews, G. E. 和 Burge, W. H. “行列式恒等式。” Pacific J. Math. 158, 1-14, 1993年。Arfken, G. “行列式。” 物理学家数学方法，第 3 版 §4.1。奥兰多，佛罗里达州：Academic Press，第 168-176 页，1985年。Brenner, J. 和 Cummings, L. “哈达玛最大行列式问题。” Amer. Math. Monthly 79, 626-630, 1972年。Dodgson, C. L. 行列式初等论，及其在联立线性方程和代数几何中的应用。 伦敦：Macmillan，1867年。Dostor, G. 行列式理论要素，及其在平面和空间代数、三角学和解析几何中的应用，第二版。巴黎：Gauthier-Villars，1905年。Gattegno, J. 刘易斯·卡罗尔：镜中碎片。 纽约：Crowell，1974年。Hadamard, J. “关于行列式问题的解决。” Bull. Sci. Math. 17, 30-31, 1893年。Heath, P. 哲学家的爱丽丝：爱丽丝梦游仙境和镜中奇遇记。 纽约：St. Martin's Press，1974年。Kowalewski, G. 行列式理论导论。 纽约：Chelsea，1948年。Mikkelson, D. P. 和 Mikkelson, B. “女王的合适人选。” http://www.snopes.com/language/literary/carroll.htm。Muir, T. 行列式理论论著。 纽约：Dover，1960年。Whittaker, E. T. 和 Robinson, G. “行列式和线性方程。” 观测演算：数值数学论著，第 4 版 第 5 章。纽约：Dover，第 71-77 页，1967年。Yvinec, Y. “几何计算：行列式的精确符号。” http://www-sop.inria.fr/prisme/personnel/yvinec/Determinants/english.html。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

行列式

请引用为

Weisstein, Eric W. “行列式。” 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Determinant.html

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