递推方程

递推方程（也称为差分方程）是微分方程的离散 аналог。差分方程涉及整数函数 ，形式如下：

(1)

其中 是某个整数函数。上述方程是一阶常微分方程的离散 аналог：

(2)

差分方程的例子经常出现在动力系统中。例子包括曼德勃罗集和朱利亚集定义中涉及的迭代：

(3)

其中 是一个常数，以及逻辑斯蒂方程：

(4)

其中 是一个常数。也许最著名的递推关系例子是定义斐波那契数的那个：

(5)

对于 且 。

递推方程可以使用以下方法求解：RSolve[eqn, a[n], n]。线性递推方程的解可以直接计算，但二次递推方程则不太容易理解。

由递推关系生成的序列称为递推序列。

设

(6)

其中广义幂和 对于 , 1, ... 由下式给出：

(7)

具有不同的非零根 ，系数 是 多项式，次数为 ，对于正整数 ，且 。那么序列 ，其中 满足递推关系：

(8)

（Myerson 和 van der Poorten 1995）。

一般递推序列中的项属于在整数上的有限生成环，因此每个有理数都不可能出现在任何有限生成的递推序列中。如果一个递推序列无限次消失，那么它会在算术级数上消失，其公差为 1，仅取决于根。递推序列可以无限次取值的数量受到某个整数 的限制，该整数仅取决于根。不存在每个整数都无限次出现的递推序列，也不存在每个高斯整数都出现的递推序列（Myerson 和 van der Poorten 1995）。

设 是一个界限，使得阶数为 的非退化整数递推序列至少取值零 次。那么 ，，且 （Myerson 和 van der Poorten 1995）。 的最大情况是：

(9)

其中

(10)

(11)

零点是

(12)

（Beukers 1991）。