高斯整数

高斯整数是 复数 ，其中 和 是 整数。高斯整数是 虚二次域 的成员，并构成一个通常表示为 的环，有时也表示为 （Hardy 和 Wright 1979，第 179 页）。两个高斯整数的和、差和积是高斯整数，但 仅当存在 使得

(1)

(Shanks 1993)。

高斯整数可以根据其他高斯整数（称为高斯素数）唯一分解，直到 幂 和重排。

的单位是 和 。

高斯整数范数的一个定义是其复模量

(2)

另一个常见的定义（例如，Herstein 1975；Hardy 和 Wright 1979，第 182 页；Artin 1991；Dummit 和 Foote 2004）将高斯整数的范数定义为

(3)

上述量的平方。（请注意，高斯整数形成一个 欧几里得环，这正是使它们特别受关注的原因，仅在后一种定义下成立。）由于存在两种可能的定义，因此在查阅文献时需要谨慎。

两个高斯整数 和 互素的概率是

(4)

(OEIS A088454)，其中 是 卡塔兰常数 (Pegg; Collins and Johnson 1989; Finch 2003, p. 601)。

每个高斯整数都在高斯整数 的倍数的 范围内。

上面的图显示了高斯整数 对于各种有理值 的根（Trott 2004，第 24 页）。