平方数

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平方数，也称为完全平方数，是一种有形数，形式为，其中是一个整数。对于 , 1, ... 平方数是 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... (OEIS A000290)。

上面显示了前几个平方数表示为二进制位的序列的图。顶部显示了到，底部显示了接下来的 510 个值。

给出平方数的生成函数是

(1)

第个平方数可以用第个平方数表示为：

(2)

因为

(3)

这等价于在前一个正方形上添加一个日晷，如上图所示。

第个平方数等于第个和第个三角形数之和，

			(4)
			(5)

如上图所示，其中第个三角形数用白色三角形表示，第个三角形数用黑色三角形表示，三角形的总数是平方数 (R. Sobel, 私人通信)。

平方数也可以通过将两个连续的偶数或奇数的乘积加 1 来生成。通过执行此操作获得的结果是初始两个数的平均值的平方，

(6)

作为华林问题研究的一部分，已知每个正整数都是不超过 4 个正方形的和 (; 拉格朗日四平方定理)，每个“足够大的”整数都是不超过 4 个正方形的和 ()，并且每个整数都是至多 3 个有符号平方的和 ()。实际上，用正平方表示正整数的基集是，因此永远不需要使用 49。此外，由于无限多的需要四个平方来表示它们，因此最小的整数使得超过某个点的每个正整数都需要个平方由给出。

数字由个平方表示的表示数，区分符号和顺序，表示为，称为平方和函数。表示数字 1, 2, 3, ... 所需的最小平方数是 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 2, 1, 2, ... (OEIS A002828)，以及用平方表示数字 1, 2, 3, ... 的不同方式的数量是 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 4, ... (OEIS A001156)。枚举的平方分割的蛮力算法是重复应用贪婪算法。然而，由于表示的数量随着的增长而迅速增长，因此这种方法很快变得不切实际，如下表所示。

	平方分割
10	4
50	104
100	1116
150	6521
200	27482

第个非平方数由下式给出

(7)

其中是向下取整函数，前几个是 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, ... (OEIS A000037)。

唯一同时是平方数和角锥数的数（炮弹问题）是和，分别对应于和 (Ball 和 Coxeter 1987, p. 59; Ogilvy 1988; Dickson 2005, p. 25)，正如 Lucas (1875, 1876) 所推测并由 Watson (1918) 证明的那样。炮弹问题等价于求解丢番图方程

(8)

(Guy 1994, p. 147)。

唯一是平方数和四面体数的数是 , , 和 (给出 , , 和 )，正如 Meyl (1878; 引自 Dickson 2005, p. 25; Guy 1994, p. 147) 所证明的那样。一般来说，证明只有某些数字同时以两种不同的方式成为有形数远非易事。

要找到平方数可能的最后一位数字，将写成十进制记数法 (, , 1, ..., 9)。那么

(9)

所以的最后一位数字与的最后一位数字相同。下表给出了对于 , 1, ..., 9 的最后一位数字（其中多于一位数字的数字仅指示其最后一位数字，即 16 变为 _6）。可以看出，最后一位数字只能是 0、1、4、5、6 或 9。

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	1	4	9	_6	_5	_6	_9	_4	_1

我们可以类似地检查允许的最后两位数字，通过将写为

(10)

所以

			(11)
			(12)

因此，最后两位数字必须具有的最后两位数字。此外，最后两位数字可以通过仅考虑 , 1, 2, 3 和 4 获得，因为

(13)

具有与相同的最后两位数字（另外一种可能性是，在这种情况下，最后两位数字是 00）。因此，下表（添加了 00）穷尽了所有可能的最后两位数字。


	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	01	04	09	16	25	36	49	64	81
1	_21	_44	_69	_96	_25	_56	_89	_24	_61
2	_41	_84	_29	_76	_25	_76	_29	_84	_41
3	_61	_24	_89	_56	_25	_96	_69	_44	_21
4	_81	_64	_49	_36	_25	_16	_09	_04	_01

因此，仅有的 22 种可能性是 00、01、04、09、16、21、24、25、29、36、41、44、49、56、61、64、69、76、81、84、89 和 96，可以简洁地概括为 00、、、25、和，其中代表偶数，代表奇数。此外，数字成为平方数的必要（但不是充分）条件是其数字根为 1、4、7 或 9。前几个平方数的数字根是 1、4、9、7、7、9、4、1、9、1、4、9、7、... (OEIS A056992)，而数字根为 1、4、7 或 9 的数字列表是 1、4、7、9、10、13、16、18、19、22、25、... (OEIS A056991)。

在 NPR 广播节目“汽车谈话”2008 年 3 月的广播的“谜题”专题中提到了平方数的这个性质。在这个谜题中，一个儿子告诉他的父亲，他的计算机和数学老师给班级布置了一个问题，以确定一个数字是否是完全平方数。每个学生都被分配了一个特定的数字，学生们应该编写一个软件程序来确定答案。儿子被分配的数字是。当父亲认为这是一个难题时，一个旁观者听到了他们的对话，并表示老师给了儿子一个简单的数字，旁观者可以立即给出答案。问题是这个人知道什么？答案是该数字以数字“2”结尾，这不是平方数可能的最后一位数字之一。

下表给出了平方数对于到 20 的模的可能余数。量给出了给定的不同余数的数量。


2	2	0, 1
3	2	0, 1
4	2	0, 1
5	3	0, 1, 4
6	4	0, 1, 3, 4
7	4	0, 1, 2, 4
8	3	0, 1, 4
9	4	0, 1, 4, 7
10	6	0, 1, 4, 5, 6, 9
11	6	0, 1, 3, 4, 5, 9
12	4	0, 1, 4, 9
13	7	0, 1, 3, 4, 9, 10, 12
14	8	0, 1, 2, 4, 7, 8, 9, 11
15	6	0, 1, 4, 6, 9, 10
16	4	0, 1, 4, 9
17	9	0, 1, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16
18	8	0, 1, 4, 7, 9, 10, 13, 16
19	10	0, 1, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 16, 17
20	6	0, 1, 4, 5, 9, 16

一般来说，奇数平方与 1 (mod 8) 同余 (Conway 和 Guy 1996)。Stangl (1996) 给出了一个显式公式，通过该公式可以计算中（即模）的平方数。令为一个奇数素数。那么是由下式给出的乘法函数

			(14)
			(15)
			(16)
		${1/3(2^(n-1)+4) for n even; 1/3(2^(n-1)+5) for n odd$	(17)
		${(p^(n+1)+p+2)/(2(p+1)) for n>=3 even; (p^(n+1)+2p+1)/(2(p+1)) for n>=3 odd.$	(18)

与个二次剩余在中的数量有关，关系如下：

(19)

对于 (Stangl 1996)。

对于完全平方数，对于所有奇数素数或 1 ，其中是勒让德符号。一个不是完全平方数但满足此关系的数字称为伪平方数。

在拉马努金会议的演讲中，W. Gosper 推测，四个不同的奇数平方的和是四个不同的偶数平方的和。M. Hirschhorn 使用恒等式证明了这个猜想

(20)

其中、、和是正或负整数。Hirschhorn 还表明，每个四个不同的奇偶平方的和都是四个不同的奇数平方的和。

素数可以写成两个平方的和，当且仅当不能被 4 整除时（费马 4n+1 定理）。任意正数可以表示为两个平方的和，当且仅当，给定其素因数分解

(21)

没有可以被 4 整除 (Conway 和 Guy 1996, p. 147)。这等价于要求无平方部分的所有奇数因子等于 1 (mod 4) (Hardy 和 Wright 1979, Finch)。可以表示为两个平方和的前几个数字是 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25, 26, ... (OEIS A001481)。令为可以表示为两个平方和的数字的分数，

(22)

和

(23)

其中是兰道-拉马努金常数。

可以表示为三个平方和的数字是那些不属于形式的数字，对于 (Nagell 1951, p. 194; Wells 1986, pp. 48 和 56; Hardy 1999, p. 12)。

下表给出了前几个需要、2、3 和 4 个平方来表示它们的和的数字 (Wells 1986, p. 70)。

	斯隆	数字
1	A000290	1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...
2	A000415	2, 5, 8, 10, 13, 17, 18, 20, 26, 29, ...
3	A000419	3, 6, 11, 12, 14, 19, 21, 22, 24, 27, ...
4	A004215	7, 15, 23, 28, 31, 39, 47, 55, 60, 63, ...

费马 4n+1 定理保证每个素数，形式为，只能以一种方式表示为两个平方数的和。

只有 31 个数字不能表示为不同平方的和：2、3、6、7、8、11、12、15、18、19、22、23、24、27、28、31、32、33、43、44、47、48、60、67、72、76、92、96、108、112、128 (OEIS A001422; Guy 1994; Savin 2000)。以下数字不能使用少于五个不同的平方表示：55、88、103、132、172、176、192、240、268、288、304、368、384、432、448、496、512 和 752，以及所有通过将这些数字乘以 4 的幂获得的数字。这给出了所有已知的此类小于的数字 (Savin 2000)。所有数字都可以表示为最多五个不同平方的和，并且只有

(24)

和

(25)

需要六个不同的平方 (Bohman et al. 1979; Guy 1994, p. 136; Savin 2000)。事实上，188 也可以用七个不同的平方表示

(26)

下表给出了可以以种不同方式表示为个平方和的数字。例如，

(27)

可以以两种方式表示 () 通过两个平方 ()。

		斯隆	数字
1	1	A000290	1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, ...
2	1	A025284	2, 5, 8, 10, 13, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, ...
2	2	A025285	50, 65, 85, 125, 130, 145, 170, 185, 200, ...
3	1	A025321	3, 6, 9, 11, 12, 14, 17, 18, 19, 21, 22, 24, ...
3	2	A025322	27, 33, 38, 41, 51, 57, 59, 62, 69, 74, 75, ...
3	3	A025323	54, 66, 81, 86, 89, 99, 101, 110, 114, 126, ...
3	4	A025324	129, 134, 146, 153, 161, 171, 189, 198, ...
4	1	A025357	4, 7, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22, ...
4	2	A025358	31, 34, 36, 37, 39, 43, 45, 47, 49, 50, 54, ...
4	3	A025359	28, 42, 55, 60, 66, 67, 73, 75, 78, 85, 95, 99, ...
4	4	A025360	52, 58, 63, 70, 76, 84, 87, 91, 93, 97, 98, 103, ...

对于、2、...，恰好以种不同方式表示为两个平方和的最小数字由 2, 50, 325, 1105, 8125, 5525, 105625, 27625, 71825, 138125, 5281250, ... (OEIS A016032; Beiler 1966, pp. 140-141; Rubin 1977-78; Culberson 1978-79; Hardy 和 Wright 1979; Rivera) 给出。

四个不同的非零整数在等差数列中的乘积仅在 (, , 1, 3) 时为平方数，给出 (Le Lionnais 1983, p. 53)。在等差数列中可能有三个平方数，但不能有四个 (Dickson 2005, pp. 435-440)。如果这些数字是、和，则存在正整数和使得

			(28)
			(29)
			(30)

其中并且、或之一是偶数 (Dickson 2005, pp. 437-438)。每三个平方数的等差数列都可以与一个勾股三元组 ) 关联，通过

			(31)
			(32)
			(33)

(Robertson 1996)。

卡塔兰猜想指出 8 和 9 ( 和 ) 是唯一的连续幂（不包括 0 和 1），即卡塔兰丢番图问题的唯一解。这个猜想尚未被证明或证伪，尽管 R. Tijdeman 已经证明，如果这个猜想不成立，则可能只有有限数量的例外。众所周知，8 和 9 是唯一的连续立方数和平方数（无论顺序）。

不是两个平方差的数字是 2、6、10、14、18、... (OEIS A016825; Wells 1986, p. 76)。

平方数可以是两个平方的串联，如和给出的情况。既不是平方数也不是平方数和素数之和的前几个数字是 10、34、58、85、91、130、214、... (OEIS A020495)。

据推测，除了、和之外，只有有限个平方数恰好有两个不同的非零数字 (Guy 1994, p. 262)。前几个这样的是 4、5、6、7、8、9、11、12、15、21、... (OEIS A016070)，对应于 16、25、36、49、64、81、121、... 的 (OEIS A018884)。

下表给出了前几个数字，当平方时，会给出仅由某些数字组成的数字。的值使得恰好包含两个不同的数字由 4、5、6、7、8、9、10、11、12、15、20、... (OEIS A016069) 给出，其平方为 16、25 36、49、64、... (OEIS A018885)。

数字	斯隆	,
1, 2, 3	A030175	1, 11, 111, 36361, 363639, ...
	A030174	1, 121, 12321, 1322122321, ...
1, 4, 6	A027677	1, 2, 4, 8, 12, 21, 38, 108, ...
	A027676	1, 4, 16, 64, 144, 441, 1444, ...
1, 4, 9	A027675	1, 2, 3, 7, 12, 21, 38, 107, ...
	A006716	1, 4, 9, 49, 144, 441, 1444, 11449, ...
2, 4, 8	A027679	2, 22, 168, 478, 2878, 210912978, ...
	A027678	4, 484, 28224, 228484, 8282884, ...
4, 5, 6	A030177	2, 8, 216, 238, 258, 738, 6742, ...
	A030176	4, 64, 46656, 56644, 66564, ...

对于三位数，一个仅包含数字 7、8 和 9 的极端例子是

(34)

已知没有平方数仅包含数字 013 或 678。对于 019、039、056、079、568 和 789，已知唯一解。已知最长的是

(35)

有 52 位数字。三位数平方问题已知解的列表由 Mishima 维护。

布朗数是满足布罗卡尔问题条件的整数对，即满足

(36)

其中是一个阶乘。仅已知三个这样的数对：(5,4)、(11,5)、(71,7)。Erdős 推测这些是仅有的三个这样的数对。

或者或者在正整数中有解当且仅当，对于某个，，其中是一个斐波那契数，是一个卢卡斯数 (Honsberger 1985, pp. 114-118)。

包含数字 1 到 9 的最小和最大平方数是

(37)

(38)

包含数字 0 到 9 的最小和最大平方数是

(39)

(40)

(Madachy 1979, p. 159)。包含数字 1 到 9 各两次的最小和最大平方数是

(41)

(42)

以及包含数字 1 到 9 各三次的最小和最大平方数是

(43)

(44)

(Madachy 1979, p. 159)。

Madachy (1979, p. 165) 还考虑了等于其两个“一半”的平方和的数字，例如

			(45)
			(46)
			(47)
			(48)

以及许多其他数字。

另请参阅

反平方数, 双二次数, 布罗卡尔问题, 布朗数, 炮弹问题, 卡塔兰猜想, 中心平方数, 克拉克三角形, 立方数, 丢番图方程, 费马的 4n+1 定理, 贪婪算法, 格罗斯, 七边形平方数, 拉格朗日四平方定理, 兰道-拉马努金常数, 八边形平方数, 分拆, 五边形平方数, 伪平方数, 棱锥数, 无平方因子数, 平方三角形数, 平方和函数, 华林问题在 MathWorld 课堂中探索此主题

此条目的部分内容由 Len Goodman 贡献

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参考文献

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在 Wolfram|Alpha 上引用

平方数

请引用为

Goodman, Len 和 Weisstein, Eric W. "平方数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/SquareNumber.html