皮萨诺周期

斐波那契数序列 斐波那契数 对于任何模数 都是周期性的 (Wall 1960)，并且周期（模 ）被称为皮萨诺周期 (Wrench 1969)。对于 , 2, ...，pi(m) 的值为 1, 3, 8, 6, 20, 24, 16, 12, 24, 60, 10, ... (OEIS A001175)。

由于 ，F_n 的最后一位数字以 60 为周期重复，正如拉格朗日在 1774 年首次指出的那样 (Livio 2002, p. 105)。最后两位数字以 300 为周期重复，最后三位以 1500 为周期重复。1963 年，Geller 发现最后四位数字的周期为 ，最后五位的周期为 。Jarden 随后证明，对于 ，最后 位数字的周期为 (Livio 2002, pp. 105-106)。因此，n=1, 10, 100, 1000, ... 的皮萨诺周期序列为 60, 300, 1500, 15000, 150000, 1500000, ... (OEIS A096363)。

如果 (Wall 1960)，则 pi(m) 为偶数。 当且仅当 对于某个整数 时，pi(m)=m (Fulton and Morris 1969, Wrench 1969)。