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卢卡斯数

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卢卡斯数是由{L_n}_(n=1)^infty定义的整数序列，其定义通过线性递推方程

L_n=L_(n-1)+L_(n-2)
(1)

其中 L_1=1 且 L_2=3。第 n 个卢卡斯数在 Wolfram 语言中实现为LucasL[n]。

L_n 对于 n=1, 2, ... 的值为 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ... (OEIS A000204)。

卢卡斯数也是一个 卢卡斯序列 V_n(1,-1)，并且是斐波那契数 F_n 的同伴，并满足相同的递推关系。

从数字 1, 2, ..., n 中选取一个集合（包括空集）且不选取两个连续数字（其中 1 和 n 现在是连续的）的方法数为 L_n (Honsberger 1985, p. 122)。

卢卡斯序列中唯一的平方数是 1 和 4 (Alfred 1964, Cohn 1964)。唯一的三角形数卢卡斯数是 1、3 和 5778 (Ming 1991)。唯一的立方数卢卡斯数是 1。

非常令人惊讶的是，如果 n 是素数，则 L_n=1 (mod n)。然而，反之不一定成立，满足 L_n=1 (mod n) 的合数 n 被称为 卢卡斯伪素数。

对于 n=1, 2, ..., L_(10^n) 中十进制数字的个数是 1, 3, 21, 209, 2090, 20899, 208988, 2089877, ... (OEIS A114469)。可以看出，数字的初始字符串稳定下来产生数字 208987640249978733769...，这对应于 lnphi=0.2089876... 的十进制数字 (OEIS A097348)，其中 phi 是黄金比例。这源于对于任何幂函数 f_n=c^n，f_(10^n) 的十进制数字的个数由 10^nlog_(10)c 给出这一事实。

卢卡斯数的周期长度 (mod 10^n) 对于 n=1, 2, ... 是 12, 60, 300, 3000, 30000, 300000, 300000, ... (OEIS A114307)。

对于卢卡斯数，比内公式的类似形式是

L_n=((1+sqrt(5))/2)^n+((1-sqrt(5))/2)^n.
(2)

另一个公式是

L_n=[phi^n]
(3)

对于 n>=2，其中 phi 是黄金比例，而 [x] 表示最近整数函数。

另一个 L_n 的递推关系由下式给出：

L_(n+1)=|_(L_n(1+sqrt(5))+1)/2_|
(4)

对于 n>=4，其中 |_x_| 是向下取整函数。

卢卡斯数满足的其他恒等式包括

L_n^2-L_(n-1)L_(n+1)=5(-1)^n,
(5)

和

sum_(k=1)^nL_k^2=L_nL_(n+1)-2.
(6)

卢卡斯数服从否定公式

L_(-n)=(-1)^nL_n,
(7)

加法公式

L_(m+n)=1/2(5F_mF_n+L_mL_n),
(8)

其中 F_n 是斐波那契数，减法公式

L_(m-n)=1/2(-1)^n(L_mL_n-5F_mF_n),
(9)

基本恒等式

L_n^2-5F_n^2=4(-1)^n,
(10)

共轭关系

L_n=F_(n-1)+F_(n+1),
(11)

后继关系

L_(n+1)=1/2(5F_n+L_n),
(12)

倍角公式

L_(2n)=1/2(5F_n^2+L_n^2),
(13)

多角递推关系

L_(kn)=L_kL_(k(n-1))-(-1)^kL_(k(n-2)),
(14)

多角公式

L_(kn)=1/(2^(k-1))sum_(i=0)^(|_k/2_|)(k; 2i)5^iF_n^(2i)L_n^(k-2i)
(15)
=sum_(i=0)^(|_k/2_|)k/(k-i)(k-i; i)(-1)^(i(n+1))L_n^(k-2i)
(16)
={sum_(i=0)^(k/2)k/(k-i)(k-i; i)(-1)^(in)5^(k/2-i)F_n^(k-2i) for k even; L_nsum_(i=0)^(|_k/2_|)(k-1-i; i)(-1)^(in)5^(|_k/2_|-i)F_n^(k-1-2i) for k odd
(17)
=sum_(i=0)^(k)(k; i)L_iF_n^iF_(n-1)^(k-i),
(18)

乘积展开

F_mL_n=F_(m+n)+(-1)^nF_(m-n)
(19)

和

F_mF_n=1/5[L_(m+n)-(-1)^nL_(m-n)],
(20)

平方展开式，

L_n^2=L_(2n)+2(-1)^n,
(21)

和幂展开式

L_n^k=1/2sum_(i=0)^k(k; i)(-1)^(in)L_((k-2i)n).
(22)

卢卡斯数满足幂递推关系

sum_(j=0)^(t+1)(-1)^(j(j+1)/2)[t+1; j]_FL_(n-j)^t=0,
(23)

其中 [a; b]_F 是斐波那契二项式系数，倒数和

sum_(k=1)^n((-1)^k)/(L_kL_(k+a))=(F_n)/(F_a)sum_(k=1)^a((-1)^k)/(L_kL_(k+n)),
(24)

卷积

sum_(k=0)^nL_kL_(n-k)=(n+2)L_n+F_n,
(25)

部分分式分解

-5/(L_(n+a)L_(n+b)L_(n+c))=A/(L_(n+a))+B/(L_(n+b))+C/(L_(n+c)),
(26)

其中

A=((-1)^(n-a))/(F_(b-a)F_(c-a))
(27)
B=((-1)^(n-b))/(F_(c-b)F_(a-b))
(28)
C=((-1)^(n-c))/(F_(a-c)F_(b-c)),
(29)

和求和公式

sum_(k=0)^nx^kL_(ak+b)=(g(n+1)-g(0))/(1-L_ax+(-1)^ax^2),
(30)

其中

g(n)=(-1)^aL_(a(n-1)+b)x^(n+1)-L_(an+b)x^n.
(31)

设 p 是一个素数 >3，k 是一个正整数。则 L_(2p^k) 以 3 结尾（Honsberger 1985, p. 113）。斐波那契数的 Cesàro 恒等式的类似形式是

sum_(k=0)^n(n; k)L_k=L_(2n)
(32)
sum_(k=0)^n(n; k)2^kL_k=L_(3n),
(33)

其中 (n; k) 是二项式系数。

L_n|F_m (L_n 整除 F_m) 当且仅当 n 整除 m 偶数次时成立。L_n|L_m 当且仅当 n 整除 m 奇数次时成立。2^nL_n 总是以 2 结尾（Honsberger 1985, p. 137）。

定义

D_n=|3 i 0 0 ... 0 0; i 1 i 0 ... 0 0; 0 i 1 i ... 0 0; 0 0 i 1 ... 0 0; | | | | ... | |; 0 0 0 0 ... 1 i; 0 0 0 0 ... i 1|=L_(n+1)
(34)

给出

D_n=D_(n-1)+D_(n-2)
(35)

(Honsberger 1985, pp. 113-114)。

参见

斐波那契数, 整数序列素数, 卢卡斯 n 步数, 卢卡斯多项式, 卢卡斯素数, 卢卡斯伪素数, 卢卡斯序列, 斐波那契倒数常数

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参考文献

Alfred, Brother U. "On Square Lucas Numbers." Fib. Quart. 2, 11-12, 1964.Borwein, J. M. 和 Borwein, P. B. Pi & the AGM: 解析数论和计算复杂性研究。 New York: Wiley, pp. 94-101, 1987.Brillhart, J.; Montgomery, P. L.; 和 Silverman, R. D. "斐波那契数和卢卡斯数分解表。" Math. Comput. 50, 251-260 和 S1-S15, 1988.Broadhurst, D. 和 Irvine, S. "卢卡斯记录。" Post to primeform 用户论坛. 6 月 19 日, 2006. http://groups.yahoo.com/group/primeform/message/7534.Brown, J. L. Jr. "整数表示为不同卢卡斯数之和的唯一性。" Fib. Quart. 7, 243-252, 1969.Cohn, J. H. E. "平方斐波那契数，等等。" Fib. Quart. 2, 109-113, 1964.Dubner, H. 和 Keller, W. "新的斐波那契素数和卢卡斯素数。" Math. Comput. 68, 417-427 和 S1-S12, 1999.Guy, R. K. "各种形状的斐波那契数。" §D26 in 数论中未解决的问题，第 2 版。 New York: Springer-Verlag, pp. 194-195, 1994.Hilton, P.; Holton, D.; 和 Pedersen, J. "斐波那契数和卢卡斯数。" Ch. 3 in 多面镜子房间中的数学思考。 New York: Springer-Verlag, pp. 61-85, 1997.Hilton, P. 和 Pedersen, J. "教学和研究中的斐波那契数和卢卡斯数。" J. Math. Informatique 3, 36-57, 1991-1992.Hoggatt, V. E. Jr. 斐波那契数和卢卡斯数。 Boston, MA: Houghton Mifflin, 1969.Honsberger, R. "斐波那契数和卢卡斯数再探。" Ch. 8 in 数学宝石 III。 Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1985.Koshy, T. 斐波那契数和卢卡斯数及其应用。 New York: Wiley-Interscience, 2001.更新链接Leyland, P. ftp://sable.ox.ac.uk/pub/math/factors/lucas.ZLifchitz, H. 和 Lifchitz, R. "PRP 顶级记录。" http://www.primenumbers.net/prptop/searchform.php?form=L(n).Ming, L. "关于三角形卢卡斯数。" 斐波那契数及其应用，卷 4 (Ed. G. E. Bergum, A. N. Philippou, 和 A. F. Horadam). Dordrecht, Netherlands: Kluwer, pp. 231-240, 1991.Sloane, N. J. A. 序列 A000204/M2341, A001606/M0961, A005479/M2627, A068070, A097348, A114469, 和 A114307 in "整数序列在线百科全书。"

在 Wolfram|Alpha 上引用

卢卡斯数

请引用为

Weisstein, Eric W. "卢卡斯数。" 来自 MathWorld--一个 Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/LucasNumber.html

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