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卢卡斯序列

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设 P, Q 为 整数 满足

D=P^2-4Q>0.
(1)

则

x^2-Px+Q=0
(2)

的根是

a=1/2(P+sqrt(D))
(3)
b=1/2(P-sqrt(D)),
(4)

所以

a+b=P
(5)
ab=1/4(P^2-D)
(6)
=Q
(7)
a-b=sqrt(D).
(8)

现在定义

U_n(P,Q)=(a^n-b^n)/(a-b)
(9)
V_n(P,Q)=a^n+b^n
(10)

对于整数 n>=0，因此前几个值是

U_0=0
(11)
U_1=1
(12)
U_2=P
(13)
U_3=P^2-Q
(14)
U_4=P(P^2-2Q)
(15)
U_5=P^4-3QP^2+Q^2
(16)
U_6=P(P^2-3Q)(P^2-Q)
(17)
U_7=P^6-5QP^4+6Q^2P^2-Q^3
(18)
U_8=P(P^2-2Q)(P^4-4QP^2+2Q^2)
(19)
U_9=(P^2-Q)(P^6-6QP^4+9Q^2P^2-Q^3)
(20)
U_(10)=P(P^4-3QP^2+Q^2)(P^4-5QP^2+5Q^2)
(21)

和

V_0=2
(22)
V_1=P
(23)
V_2=P^2-2Q
(24)
V_3=P(P^2-3Q)
(25)
V_4=P^4-4QP^2+2Q^2
(26)
V_5=P(P^4-5QP^2+5Q^2)
(27)
V_6=(P^2-2Q)(P^4-4QP^2+Q^2)
(28)
V_7=P(P^6-7QP^4+14Q^2P^2-7Q^3)
(29)
V_8=P^8-8QP^6+20Q^2P^4-16Q^3P^2+2Q^4
(30)
V_9=P(P^2-3Q)(P^6-6QP^4+9Q^2P^2-3Q^3)
(31)
V_(10)=(P^2-2Q)(P^8-8QP^6+19Q^2P^4-12Q^3P^2+Q^4).
(32)

它们的闭合形式由下式给出

U_n=2^(1-n)sum_(k=0)^(|_(n-1)/2_|)(n; 2k+1)P^(n-2k-1)(P^2-4Q)^k
(33)
V_n=2^(1-n)sum_(k=0)^(|_n/2_|)(n; 2k)P^(n-2k)(P^2-4Q)^k.
(34)

序列

U(P,Q)={U_n(P,Q):n>=1}
(35)
V(P,Q)={V_n(P,Q):n>=1}
(36)

被称为卢卡斯序列，其中定义通常扩展为包括

U_(-1)=(a^(-1)-b^(-1))/(a-b)=(-1)/(ab)=-1/Q.
(37)

下表总结了 U_n(P,Q) 和 V_n(P,Q) 的特殊情况。

(P,Q)U_nV_n
(1,-1)斐波那契数卢卡斯数
(2,-1)佩尔数佩尔-卢卡斯数
(1,-2)雅可比斯塔尔数佩尔-雅可比斯塔尔数

卢卡斯序列满足一般的递推关系

U_(m+n)=(a^(m+n)-b^(m+n))/(a-b)
(38)
=((a^m-b^m)(a^n+b^n))/(a-b)-(a^nb^n(a^(m-n)-b^(m-n)))/(a-b)
(39)
=U_mV_n-a^nb^nU_(m-n)
(40)
V_(m+n)=a^(m+n)+b^(m+n)
(41)
=(a^m+b^m)(a^n+b^n)-a^nb^n(a^(m-n)+b^(m-n))
(42)
=V_mV_n-a^nb^nV_(m-n).
(43)

取 n=1 则给出

U_m(P,Q)=PU_(m-1)(P,Q)-QU_(m-2)(P,Q)
(44)
V_m(P,Q)=PV_(m-1)(P,Q)-QV_(m-2)(P,Q).
(45)

其他恒等式包括

U_(2n)=U_nV_n
(46)
U_(2n+1)=U_(n+1)V_n-Q^n
(47)
V_(2n)=V_n^2-2(ab)^n
(48)
=V_n^2-2Q^n
(49)
V_(2n+1)=V_(n+1)V_n-PQ^n.
(50)

这些公式允许将大 n 的计算分解为链，其中一次只需跟踪四个量，并且所需的步数是 ∼lgn。 如果 n 的因式分解中有很多 2，则该链特别简单。

参见

比内公式, 斐波那契数, 雅可比斯塔尔数, 卢卡斯-莱默检验法, 卢卡斯数, 卢卡斯多项式序列, 佩尔数, 递归序列, 西尔维斯特分圆数

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参考文献

Dickson, L. E. "Recurring Series; Lucas' u_n, v_n." Ch. 17 in History of the Theory of Numbers, Vol. 1: Divisibility and Primality. New York: Dover, pp. 393-411, 2005.Ribenboim, P. The Little Book of Big Primes. New York: Springer-Verlag, pp. 35-53, 1991.

在 Wolfram|Alpha 上引用

卢卡斯序列

请引用为

Weisstein, Eric W. "卢卡斯序列。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/LucasSequence.html

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