主题
Search

电阻网络

考虑一个由 n 个电阻 R_i 组成的网络，使得 R_2 可以与 R_1 串联或并联，R_3 可以与由 R_1 和 R_2 组成的网络串联或并联，依此类推。两个电阻串联的电阻值由下式给出

R_(net, series)=R_1+R_2,
(1)

两个电阻并联的电阻值由下式给出

R_(net, parallel)=1/(1/(R_1)+1/(R_2)).
(2)

因此，电阻值为 a 和 b 的两个电阻的可能值为

a+b,1/(1/a+1/b),
(3)

对于三个电阻 a、b 和 c，可能值为

a+b+c,a+1/(1/b+1/c),b+1/(1/a+1/c),c+1/(1/a+1/b) 1/(1/a+1/(b+c)),1/(1/b+1/(a+c)),1/(1/c+1/(a+b)),1/(1/a+1/b+1/c),
(4)

等等。这些显然都是有理数，对于 n=1, 2, ...，不同排列的数量为 1, 2, 8, 46, 332, 2874, ... (OEIS A005840)，这也出现在一个完全不同的背景中 (Stanley 1991)。

如果值被限制为 a=b=...=1，那么对于 n 个 1-Omega 电阻，有 2^(n-1) 种可能的电阻值，范围从最小值 1/n 到最大值 n。令人惊讶的是，对于 n=1, 2, ...，最大的分母为 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...，这些数字立即被识别为 斐波那契数 (OEIS A000045)。下表给出了 n 较小时可能的电阻值。

n可能的电阻值
11
21/2,2
31/3,2/3,3/2,3
41/4,2/5,3/5,3/4,4/3,5/3,5/2,4

如果 n 个电阻的值分别为 1, 2, ..., n，那么对于 1, 2, ... 个电阻，可能的净电阻数量为 1, 2, 8, 44, 298, 2350, ... (OEIS A051045)。下表给出了 n 较小时可能的电阻值。

n可能的电阻值
11
22/3,3
36/(11),3/2,(11)/3,6
4(12)/(25),(12)/(11),(44)/(23),(12)/5,(50)/(11),(11)/2,(23)/3,10

另请参阅

斐波那契数, 电阻距离

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Amengual, A. "The Intriguing Properties of the Equivalent Resistances of n Equal Resistors Combined in Series and in Parallel." Amer. J. Phys. 68, 175-179, 2000.Sloane, N. J. A. Sequences A000045/M0692, A005840/M1872, and A051045 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Stanley, R. P. "A Zonotope Associated with Graphical Degree Sequences." In Applied Geometry and Discrete Mathematics: The Victor Klee Festschrift (Ed. P. Gritzmann and B. Sturmfels). Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 555-570, 1991.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

电阻网络

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "电阻网络。" 来源：MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ResistorNetwork.html

学科分类