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收敛

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“收敛”一词在数学中有许多不同的含义。

最常见的是，它是一个形容词，用于描述收敛序列或收敛级数，它本质上意味着相应的级数或序列接近某个极限（D'Angelo 和 West 2000, p. 259）。

通过仅保留连分数中有限项数而获得的有理数也称为收敛项。例如，在黄金比例的简单连分数中，

phi=1+1/(1+1/(1+...)),
(1)

收敛项是

1,1+1/1,1+1/(1+1/1),...=12,3/2,....
(2)

收敛项通常表示为 A_n/B_n, p_n/q_n, P_n/Q_n （整数比率），或 c_n （有理数）。

给定一个简单连分数 [b_0;b_1,b_2,...], 第 n 个收敛项由以下三对角矩阵行列式的比率给出

(A_n)/(B_n)=(|b_0 -1 0 ... 0; 1 b_1 -1 ... 0; 0 1 b_2 ... 0; 0 0 1 ... -1; 0 0 0 ... b_n|)/(|b_1 -1 ... 0; 1 b_2 ... 0; 0 1 ... -1; 0 0 ... b_n|).
(3)

例如，pi=[3;7,15] 的第三个收敛项是

(A_3)/(B_3)=(|3 -1 0; 1 7 -1; 0 1 15|)/(|7 -1; 1 15|)=(333)/(106).
(4)

在Wolfram 语言中，Convergents[terms] 给出对应于指定连分数项列表的收敛项列表，而Convergents[x, n] 给出数字 x 的前 n 个收敛项。

考虑简单连分数 [b_0;b_1,b_2,...] 的收敛项 c_n=A_n/B_n，并定义

A_(-1)=1
(5)
B_(-1)=0
(6)
A_0=b_0
(7)
B_0=1.
(8)

然后，可以使用递推关系计算后续项

A_k=b_kA_(k-1)+A_(k-2)
(9)
B_k=b_kB_(k-1)+B_(k-2).
(10)

k=1, 2, ..., n.

对于广义连分数 K_(k=1)^(infty)a_k/b_k，递推关系推广为

A_k=b_kA_(k-1)+a_kA_(k-2)
(11)
B_k=b_kB_(k-1)+a_kB_(k-2).
(12)

连分数基本递推关系 对于简单连分数是

A_nB_(n-1)-A_(n-1)B_n=(-1)^(n+1).
(13)

如果 b_0!=0，则这也是正确的

(A_n)/(A_(n-1))=[b_n;b_(n-1),...,b_0]
(14)
(B_n)/(B_(n-1))=[b_n;b_(n-1),...,b_1].
(15)

此外，

(A_n)/(B_n)=(A_(n+1)-A_(n-1))/(B_(n+1)-B_(n-1)).
(16)

此外，如果收敛项 c_n=A_n/B_n>1，则

(B_n)/(A_n)=[0;b_0,b_1,...,b_n].
(17)

类似地，如果 c_n=A_n/B_n<1，则 b_0=0 并且

(B_n)/(A_n)=[0;b_1,...,b_n].
(18)

收敛项 A_n/B_n 也满足

(A_n)/(B_n)-(A_(n-1))/(B_(n-1))=((-1)^(n+1))/(B_nB_(n-1))
(19)
(A_n)/(B_n)-(A_(n-2))/(B_(n-2))=(b_n(-1)^n)/(B_nB_(n-2)).
(20)
CFConvergents

上面以半对数刻度绘制的是 c_n-pi （n 偶数；左图）和 pi-c_n （n 奇数；右图）作为 n 的函数，用于 pi 的收敛项。一般来说，无限简单连分数的偶数收敛项 c_(2n) 对于数字 x 形成递增序列，而奇数收敛项 c_(2n+1) 形成递减序列（因此任何偶数收敛项都小于任何奇数收敛项）。总结如下：

c_0<c_2<c_4<...<c_(2n-2)<c_(2n)<...<x
(21)
x<...<c_(2n+1)<c_(2n-1)<c_5<c_3<c_1.
(22)

此外，对于 n>=3，每个收敛项都位于前两个收敛项之间。每个收敛项都比前一个更接近无限连分数的值。此外，对于数字 x=[b_0;b_1,b_2,...]，

1/((b_(n+1)+2)B_n^2)<|x-(A_n)/(B_n)|<1/(b_(n+1)B_n^2).
(23)

在搜索连分数恒等式的过程中，Raayoni (2021) 和 Elimelech et al. (2023) 注意到，虽然收敛项 p_n/q_n 的分子和分母通常呈阶乘增长，但对于 g_n=GCD(p_n,q_n)，约简后的分子和分母 p_n/g_n 和 q_n/g_n 最多呈指数增长，即 s^n。他们将这种现象称为阶乘约简，并指出虽然它在一般情况下极为罕见，但它适用于 Ramanujan 机器最初发现的所有恒等式 (Raayoni et al. 2021)。

另请参阅

连分数, 收敛序列, 收敛级数, 阶乘约简, 广义连分数, 极限, 部分分母, 简单连分数 在 MathWorld 课堂中探索这个主题

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参考文献

D'Angelo, J. P. 和 West, D. B. Mathematical Thinking: Problem-Solving and Proofs, 2nd ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, 2000.Elimelech, R.; David, O.; De la Cruz Mengual, C.; Kalisch, R.; Berndt, W.; Shalyt, M.; Silberstein, M.; Hadad, Y.; 和 Kaminer, I. "Algorithm-Assisted Discovery of an Intrinsic Order Among Mathematical Constants." 2023 年 8 月 22 日。 https://arxiv.org/abs/2308.11829.Liberman, H. Simple Continued Fractions: An Elementary to Research Level Approach. SMD Stock Analysts, pp. II-9-II-10, 2003.Raayoni, G; Gottlieb, S.; Manor, Y.; Pisha, G.; Harris, Y.; Mendlovic, U.; Haviv, D.; Hadad, Y.; 和 Kaminer, I. "Generating Conjectures on Fundamental Constants With the Ramanujan Machine." Nature 590, 67-73, 2021.

在 Wolfram|Alpha 中引用

收敛

请引用为

Weisstein, Eric W. "收敛." 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Convergent.html

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