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勾股数

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勾股数是由三个三元组正整数 a、 b 和 c 组成的，使得存在一个直角三角形，其两条直角边为 a,b，斜边为 c。 根据勾股定理，这等价于找到满足以下条件的正整数 a、 b 和 c

a^2+b^2=c^2.
(1)

最小且最著名的勾股数是 (a,b,c)=(3,4,5)。 具有这些边长的直角三角形有时被称为 3, 4, 5 三角形。

PythagoreanTriples

上面显示了 (a,b) 平面中点的图，其中 (a,b,sqrt(a^2+b^2)) 是勾股数，并逐步放大边界。 这些图包括 a 和 b 的负值，因此关于 x 轴和 y 轴都对称。

PythagoreanTriplesAC

类似地，上面显示了 (a,c) 平面中点的图，其中 (a,sqrt(c^2-a^2),c) 是勾股数，并逐步放大边界。

PrimitivePythagoreanTriple

通常只考虑本原勾股数（也称为“既约”三元组），其中 a 和 b 互质，因为其他解可以从本原解中平凡地生成。 上面说明了本原三元组，并且可以立即看出，原始图中对应于非本原三元组的径向线在此图中不存在。 对于本原解，a 或 b 之一必须是偶数，另一个是奇数 (Shanks 1993, p. 141)，而 c 始终是奇数。

此外，每个勾股数的一条边可被 3 整除，另一条边可被 4 整除，还有一条边可被 5 整除。 一条边可能有两个这样的除数，如 (8, 15, 17)、(7, 24, 25) 和 (20, 21, 29) 中所示，甚至可能全部三个都有，如 (11, 60, 61) 中所示。

给定一个本原三元组 (a_0,b_0,c_0)，可以从以下公式获得三个新的本原三元组

(a_1,b_1,c_1)=(a_0,b_0,c_0)U
(2)
(a_2,b_2,c_2)=(a_0,b_0,c_0)A
(3)
(a_3,b_3,c_3)=(a_0,b_0,c_0)D,
(4)

其中

U=[1 2 2; -2 -1 -2; 2 2 3]
(5)
A=[1 2 2; 2 1 2; 2 2 3]
(6)
D=[-1 -2 -2; 2 1 2; 2 2 3].
(7)

Hall (1970) 和 Roberts (1977) 证明，(a,b,c) 是本原勾股数 当且仅当

(a,b,c)=(3,4,5)M,
(8)

其中 M 是矩阵 U、 A、 D 的有限乘积。 因此，每个本原勾股数都必须是无限数组的成员

( 7, 24, 25); ( 5, 12, 13) ( 55, 48, 73); ( 45, 28, 53); ( 39, 80, 89); (3, 4, 5) ( 21, 20, 29) ( 119, 120, 169); ( 77, 36, 85); ( 33, 56, 65); ( 15, 8, 17) ( 65, 72, 97); ( 35, 12, 37).
(9)

毕达哥拉斯和巴比伦人给出了一个生成（不一定是本原的）三元组的公式，如下所示

(2m,m^2-1,m^2+1),
(10)

对于 m>1，这会生成一组不同的三元组，其中既不包含所有本原三元组，也不包含所有非本原三元组（并且在特殊情况 m=2 时，m^2-1<2m）。

早期的希腊人给出了

(v^2-u^2,2uv,u^2+v^2),
(11)

其中 u 和 v>u 互质且奇偶性相反 (Shanks 1993, p. 141)，这会生成一组不同的三元组，其中精确地包含本原三元组（在适当排序 v^2-u^2 和 2uv 之后）。

设 F_n 为斐波那契数。 则

(F_nF_(n+3),2F_(n+1)F_(n+2),F_(n+1)^2+F_(n+2)^2)
(12)

生成不同的勾股数 (Dujella 1995)，尽管对于本原三元组或非本原三元组都不是详尽的。 更一般地，从正整数 a、 b 开始，并构造项为 a、 b、 a+b、 a+2b、 2a+3b、 ... 的类斐波那契数列 {F_n^'}，会生成不同的勾股数

(F_n^'F_(n+3)^',2F_(n+1)^'F_(n+2)^',F_(n+1)^'^2+F_(n+2)^'^2)
(13)

(Horadam 1961)，其中

F_n^'=1/2[(3a-b)F_n+(b-a)L_n,
(14)

其中 L_n 是卢卡斯数。

对于任何勾股数，两条非斜边直角边（即，两个较小的数）的乘积始终可被 12 整除，并且所有三条边的乘积可被 60 整除。 尚不清楚是否存在两个具有相同乘积的不同三元组。 存在两个这样的三元组对应于丢番图方程的非零解

xy(x^4-y^4)=zw(z^4-w^4)
(15)

(Guy 1994, p. 188)。

对于勾股数 (a、 b、 c)，

P_3(a)+P_3(b)=P_3(c),
(16)

其中 P_3 是分割函数 P (Honsberger 1985)。 每个由平方数 r^2、 s^2、 t^2 组成的三项等差数列都可以通过以下方式与勾股数 (X,Y,Z) 关联

r=X-Y
(17)
s=Z
(18)
t=X+Y
(19)

(Robertson 1996)。

对应于勾股数 (u^2-v^2,2uv,u^2+v^2) 的三角形的面积为

A=1/2(u^2-v^2)(2uv)=uv(u^2-v^2).
(20)

费马证明，这种形式的数永远不可能是平方数。

要找到可能具有长度为 s 的直角边（斜边除外）的本原三角形的数量 L_p(s)，将 s 分解为以下形式

s=p_1^(alpha_1)...p_n^(alpha_n).
(21)

则此类三角形的数量为

L_p(s)={0 for s=2 (mod 4); 2^(n-1) otherwise,
(22)

即，对于单偶数 s 为 0，否则为 2 的（s 的不同质因数数量减一）次方 (Beiler 1966, pp. 115-116)。 s=1、2、... 的前几个数字是 0、0、1、1、1、0、1、1、1、0、1、2、1、0、2、... (OEIS A024361)。 要找到数字 s 可以作为本原或非本原直角三角形的直角边（斜边除外）的方式数 L(s)，将 s 的因式分解写为

s=2^(a_0)p_1^(alpha_1)...p_n^(alpha_n).
(23)

则

L(s)={1/2[(2a_1+1)(2a_2+1)...(2a_n+1)-1] for a_0=0; 1/2[(2a_0-1)(2a_1+1)(2a_2+1)...(2a_n+1)-1] for a_0>=1
(24)

(Beiler 1966, p. 116)。 请注意，L(s)=1 当且仅当 s 是素数或素数的两倍。 s=1、2、... 的前几个数字是 0、0、1、1、1、1、1、2、2、1、1、4、1、... (OEIS A046079)。

要找到数字 s 可以作为本原直角三角形的斜边的方式数 H_p(s)，将其因式分解写为

s=2^(a_0)(p_1^(a_1)...p_n^(a_n))(q_1^(b_1)...q_r^(b_r)),
(25)

其中 p 是形式为 4x-1 的素数，q 是形式为 4x+1 的素数。 则可能的本原 直角三角形的数量为

H_p(s)={2^(r-1) for n=0 and a_0=0; 0 otherwise,.
(26)

例如，H_p(65)=2 因为

65^2=16^2+63^2
(27)
=33^2+56^2.
(28)

n=1、2、... 的 H_p(n) 值是 0、0、0、0、1、0、0、0、0、0、0、0、1、0、0、0、1、... (OEIS A024362)。 形式为 4x+1 的前几个素数是 5、13、17、29、37、41、53、61、73、89、97、101、109、113、137、... (OEIS A002144)，因此作为 1、2、4、8、16、... 个本原直角三角形的斜边的最小边长是 5、65、1105、32045、1185665、48612265、... (OEIS A006278)。

以 s 为斜边的可能的本原或非本原 直角三角形的数量为

H(s)=1/2[(2b_1+1)(2b_2+1)...(2b_r+1)-1]
(29)
=1/8[r_2(s^2)-4]
(30)

（纠正了 Beiler 1966, p. 117 的排印错误，该错误指出此公式仅给出非本原解的数量），其中 r_k(n) 是平方和函数。 例如，斜边为 65 的整数三角形有四个，因为

65^2=16^2+63^2=25^2+60^2=33^2+56^2=39^2+52^2.
(31)

s=1、2、... 的前几个数字是 0、0、0、0、1、0、0、0、0、1、0、0、1、0、1、0、1、0、0、... (OEIS A046080)。 具有 n 个不同三元组的最小斜边是 1、5、25、125、65、3125、... (OEIS A006339)。 下表给出了对于 n=0、1、...、5，恰好存在 n 个不同直角整数三角形的斜边。

nOEIS存在 n 个不同整数三角形的斜边
0A0041441, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 18, ...
1A0846455, 10, 13, 15, 17, 20, 26, 29, 30, 34, 35, ...
2A08464625, 50, 75, 100, 150, 169, 175, 200, 225, ...
3A084647125, 250, 375, 500, 750, 875, 1000, 1125, 1375, ...
4A08464865, 85, 130, 145, 170, 185, 195, 205, 221, 255, ...
5A0846493125, 6250, 9375, 12500, 18750, 21875, 25000, ...

因此，s 可以是直角三角形的直角边或斜边的总方式数由下式给出

T(s)=L(s)+H(s).
(32)

s=1、2、... 的值是 0、0、1、1、2、1、1、2、2、2、1、4、2、1、5、3、... (OEIS A046081)。 对于 T=1、2、...，可能是 T 个通用直角三角形的边的最小数 s 是 3、5、16、12、15、125、24、40、... (OEIS A006593; Beiler 1966, p. 114)。

斜边小于 100 的勾股数有 50 个，其中前几个按 c 递增排序的是 (3, 4, 5)、(6, 8, 10)、(5, 12, 13)、(9, 12, 15)、(8, 15, 17)、(12, 16, 20)、(15, 20, 25)、(7, 24, 25)、(10, 24, 26)、(20, 21, 29)、(18, 24, 30)、(16, 30, 34)、(21, 28, 35)、... (OEIS A046083, A046084, 和 A009000)。

其中，只有 16 个是斜边小于 100 的本原三元组：(3, 4, 5)、(5, 12, 13)、(8, 15, 17)、(7, 24, 25)、(20, 21, 29)、(12, 35, 37)、(9, 40, 41)、(28, 45, 53)、(11, 60, 61)、(33, 56, 65)、(16, 63, 65)、(48, 55, 73)、(36, 77, 85)、(13, 84, 85)、(39, 80, 89) 和 (65, 72, 97) (OEIS A046086, A046087, 和 A020882)。

设斜边 <N 的三元组数量表示为 Delta(N)，斜边 <=N 的三元组数量表示为 Delta^'(N)，小于 N 的本原三元组数量表示为 Delta_p(N)。 那么下表总结了 10 的幂的值。

DeltaOEISDelta(10), Delta(10^2), ...
Delta(N)A1019291, 50, 878, 12467, ...
Delta^'(N)A1019302, 52, 881, 12471, ...
Delta_p(N)A1019311, 16, 158, 1593, ...

Lehmer (1900) 证明，斜边小于 N 的本原解的数量满足

lim_(N->infty)(Delta_p(N))/N=1/(2pi)=0.1591549...
(33)

(OEIS A086201)。

PythagoreanIncircles

按 c 递增排序的前几个本原勾股三角形的内切圆半径由 1、2、3、3、6、5、4、10、5、... 给出 (OEIS A014498)。

有一种通用方法可以获得面积相等的勾股三角形三元组。 将三组生成器取为

m_1=r^2+rs+s^2
(34)
n_1=r^2-s^2
(35)
m_2=r^2+rs+s^2
(36)
n_2=2rs+s^2
(37)
m_3=r^2+2rs
(38)
n_3=r^2+rs+s^2.
(39)

那么由每个三元组 (m_i^2-n_i^2,2m_in_i,m_i^2+n_i^2) 生成的直角三角形具有公共面积

A=rs(2r+s)(r+2s)(r+s)(r-s)(r^2+rs+s^2)
(40)

(Beiler 1966, pp. 126-127)。 此函数的唯一极值发生在 (r,s)=(0,0) 处。 由于当 r=s 时 A(r,s)=0，因此三个非本原直角三角形共享的最小面积由 (r,s)=(1,2) 给出，这导致面积为 840，并且对应于三元组 (24, 70, 74)、(40, 42, 58) 和 (15, 112, 113) (Beiler 1966, p. 126)。

面积为个位数的直角三角形包括 (3,4,5)（面积为 6）和 (693,1924,2045)（面积为 666666；Wells 1986, p. 89）。

1643 年，费马挑战梅森找到一个勾股数，其斜边和两条直角边之和都是平方数。 费马找到了最小的此类解

X=4565486027761
(41)
Y=1061652293520
(42)
Z=4687298610289,
(43)

其中

Z=2165017^2
(44)
X+Y=2372159^2.
(45)

一个相关的问题是确定指定的整数 N 是否可以是具有有理边长的直角三角形的面积。 1、2、3 和 4 不是任何有理边直角三角形的面积，但 5 是 (3/2, 20/3, 41/6)，6 也是 (3, 4, 5)。 该问题的解决方案涉及椭圆曲线

y^2=x^3-N^2x.
(46)

如果 (46) 有有理数解，则存在解 (a、 b、 c)，在这种情况下

x=1/4c^2
(47)
y=1/8(a^2-b^2)c
(48)

(Koblitz 1993)。 对于确定任意 N 是否存在解，目前尚无通用的方法，但 J. Tunnell 在 1983 年设计的一种技术可以排除某些值 (Cipra 1996)。

另请参见

丢番图方程--二次幂, 海伦三角形, 本原勾股数, 勾股四元组, 勾股三角形, 直角三角形, 平方和函数, 孪生勾股数

使用 探索

参考文献

Ball, W. W. R. 和 Coxeter, H. S. M. 数学娱乐与散文，第 13 版 New York: Dover, pp. 57-59, 1987.Beiler, A. H. “永恒的三角形。” Ch. 14 in 数论中的娱乐：数学女王的消遣。 New York: Dover, 1966.Cipra, B. “一个令毕达哥拉斯满意的证明。” Science 271, 1669, 1996.Courant, R. 和 Robbins, H. “勾股数和费马最后定理。” §2.3 in Ch. 1 的补充 in 什么是数学？：通向思想和方法的初等方法，第 2 版。 Oxford, England: Oxford University Press, pp. 40-42, 1996.Dickson, L. E. “有理直角三角形。” Ch. 4 in 数论史，卷 2：丢番图分析。 New York: Dover, pp. 165-190, 2005.Dixon, R. 数学图形。 New York: Dover, p. 94, 1991.Dujella, A. “斐波那契数和卢卡斯数平方的丢番图四元组。” Portugaliae Math. 52, 305-318, 1995.Dutch, S. “幂页面：勾股数组。” http://www.uwgb.edu/dutchs/RECMATH/rmpowers.htm#pythtrip.Gardner, M. 来自《科学美国人》的数学游戏第六书。 Chicago, IL: University of Chicago Press, pp. 158-159, 1984.Guy, R. K. “边、中位数和面积均为整数的三角形。” §D21 in 数论中未解决的问题，第 2 版。 New York: Springer-Verlag, pp. 188-190, 1994.Hall, A. “课堂笔记 232。勾股三元组的谱系。” Math. Gaz. 54, 377-379, 1970.Hindin, H. “星形，六边形，三角形数和勾股三元组。” J. Recr. Math. 16, 191-193, 1983-1984.Hitotumatu, S. “毕达哥拉斯伪圆。” Math. Japonica 51, 387-393, 2000.Honsberger, R. 数学瑰宝 III。 Washington, DC: Math. Assoc. Amer., p. 47, 1985.Horadam, A. F. “斐波那契数三元组。” Amer. Math. Monthly 68, 751-753, 1961.Knott, R. “勾股三元组。” http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Pythag/pythag.html.Koblitz, N. 椭圆曲线和模形式导论，第 2 版。 New York: Springer-Verlag, pp. 1-50, 1993.Kraitchik, M. 数学娱乐。 New York: W. W. Norton, pp. 95-104, 1942.Kramer, K. 和 Tunnell, J. “椭圆曲线和局部 epsilon 因子。” Comp. Math. 46, 307-352, 1982.Lehmer, D. N. “某些总和的渐近评估。” Amer. J. Math. 22, 294-335, 1900.Roberts, J. 初等数论：问题导向方法。 Cambridge, MA: MIT Press, 1977.Robertson, J. P. “正方形的幻方。” Math. Mag. 69, 289-293, 1996.Shanks, D. 数论中已解决和未解决的问题，第 4 版。 New York: Chelsea, pp. 121 和 141, 1993.Sierpiński, W. 勾股三角形。 New York: Dover, 2003.Sloane, N. J. A. 序列 A002144/M3823, A004144/M0542, A006278, A006339, A006593/M2499, A009000, A014498, A020882, A024361, A024362, A046079, A046080, A046081, A046083, A046084, A046086, A046087, A084645, A084646, A084647, A084648, A084649, A086201, A101929, A101930, 和 A101931 in “整数序列在线百科全书。”Taussky-Todd, O. “勾股三角形的多个方面。” Linear Algebra and Appl. 43, 285-295, 1982.Wells, D. 好奇和有趣的数字企鹅词典。 New York: Penguin Books, 1986.

在 中被引用

勾股数

引用为

Weisstein, Eric W. “勾股三元组。” 来自 —— 资源。 https://mathworld.net.cn/PythagoreanTriple.html

学科分类