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帕斯卡三角形

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帕斯卡三角形是一个 数三角形，其中的数字以交错的行排列，使得

a_(nr)=(n!)/(r!(n-r)!)=(n; r),
(1)

其中 (n; r) 是一个 二项式系数。这个三角形由 B. 帕斯卡研究，并在他 1665 年出版的遗作中出现 (Pascal 1665)。然而，在此之前，许多其他数学家也研究过它，包括意大利代数学家尼科洛·塔尔塔利亚，他在 1556 年发表了该三角形的前六行。中国数学家杨辉和波斯天文学家兼诗人欧玛尔·海亚姆也在更早的世纪描述过它。因此，在中国它被称为杨辉三角形，在波斯被称为海亚姆三角形，在意大利被称为塔尔塔利亚三角形。

从 n=0 开始，这个 三角形 是

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
(2)

(OEIS A007318)。 帕斯卡公式 表明，随后的每一行都是通过将对角线上方的两个条目相加得到的，

(n; r)=(n!)/((n-r)!r!)=(n-1; r)+(n-1; r-1).
(3)
Binary plot for Pascal's triangle

上面的图显示了扁平化帕斯卡三角形的前 255 项（上图）和 511 项（下图）的二进制表示。

每一行中 1 之后的第一个数字整除该行中的所有其他数字 当且仅当 它是 素数。

对于 n=0, 1, ...，帕斯卡三角形前 n 行中奇数项的数量之和 P_n 为 0, 1, 3, 5, 9, 11, 15, 19, 27, 29, 33, 37, 45, 49, ... (OEIS A006046)。然后，以下等式成立

0.812...<P_nn^(-theta)<=1
(4)

(Harborth 1976, Le Lionnais 1983)，当 n 为 2 的幂时等式成立，且 n 的幂由常数给出

theta=(ln3)/(ln2)=log_23=1.58496250072115...
(5)

(OEIS A020857)。奇数项的累积计数序列有一些惊人的性质，最小可能值 beta=0.812... (OEIS A077464) 被称为 Stolarsky-Harborth 常数。

帕斯卡三角形沿其对角线包含 有形数，可以从以下恒等式中看出

sum_(i=1)^(n)(i; j)=(n+1)/(j+1)(n; j)
(6)
=(n+1; j+1).
(7)

此外，第 i 行的元素之和为

sum_(j=0)^i(i; j)=2^i,
(8)

因此，前 k 行（即，第 0 行到第 k-1 行）的总和是 梅森数

sum_(i=0)^(k-1)2^i=2^k-1.
(9)
FibonacciShallowDiags

帕斯卡三角形的“浅对角线”之和为 斐波那契数，即，

1=1
(10)
1=1
(11)
2=1+1
(12)
3=2+1
(13)
5=1+3+1
(14)
8=3+4+1
(15)

并且，通常情况下，

sum_(k=0)^(|_n/2_|)(n-k; k)=F_(n+1).
(16)

数字 2、3、4、... 在帕斯卡三角形中出现的次数由 1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, ... 给出 (OEIS A003016; Ogilvy 1972, p. 96; Comtet 1974, p. 93; Singmaster 1971)。类似地，数字 2、3、4、... 出现的行数是 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, ... (OEIS A059233)。

到第 210 行，数字

120=(10; 3)=(10; 7)=(16; 2)=(16; 14)=(120; 1)=(120; 119)
(17)
210=(10; 4)=(10; 6)=(21; 2)=(21; 19)=(210; 1)=(210; 209)
(18)
3003=(14; 6)=(14; 8)=(15; 5)=(15; 10)=(78; 2)=(78; 76)
(19)

已经出现了六次，比任何其他数字（不包括 1）都多。到第 1540 行，

1540=(22; 3)=(22; 19)=(56; 2)=(56; 54)=(1540; 1) =(1540; 1539)
(20)

现在已经出现了六次，到第 3003 行，

3003=(14; 6)=(14; 8)=(15; 5)=(15; 10)=(78; 2) =(78; 76)=(3003; 1)=(3003; 3002)
(21)

现在已经出现了 8 次，到第 7140 行，7140 也出现了六次。事实上，在帕斯卡三角形中出现五次或更多次的数字是 1, 120, 210, 1540, 3003, 7140, 11628, 24310, ... (OEIS A003015)，直到 33×10^(16) 都没有其他数字。

已知在帕斯卡三角形中至少出现 6 次的数字有无限多个，即以下方程的解

r=(n; m-1)=(n-1; m)
(22)

由下式给出

m=F_(2k-1)F_(2k)
(23)
n=F_(2k)F_(2k+1),
(24)

其中 F_i 是第 i 个 斐波那契数 (Singmaster 1975)。 k=1, 2, ... 的前几个 r 值是 1, 3003, 61218182743304701891431482520, ... (OEIS A090162)。

帕斯卡三角形和 德兰诺数 之间通过 乔列斯基分解 存在意想不到的联系 (G. Helms, 私人通信，2005 年 8 月 29 日)。更重要的是，尽管两者在数学上不相关，但帕斯卡三角形和所谓的 流氓三角形 之间也存在主题上的联系；这种关系也提供了与 切蛋糕 问题以及 蛋糕数 的切向关系。

帕斯卡三角形（模 2）结果等价于 谢尔宾斯基三角形 (Wolfram 1984; Crandall and Pomerance 2001; Borwein and Bailey 2003, pp. 46-47)。 Guy (1990) 给出了帕斯卡三角形的几个其他意想不到的性质。

另请参阅

贝尔三角形, 伯努利三角形, 二项式系数, 二项式定理, 布里安松定理, 切蛋糕, 卡塔兰三角形, 圣诞袜定理, 克拉克三角形, 圆柱切割, 欧拉数三角形, 斐波那契数, 有形数三角形, 莱布尼茨调和三角形, 洛萨尼奇三角形, 数三角形, 帕斯卡公式, 帕斯卡矩阵, 多边形, 流氓三角形, 塞德尔-恩特林格-阿诺德三角形, 谢尔宾斯基三角形, 平面空间划分, 直线正方形划分, 六芒星定理, Stolarsky-Harborth 常数, 三项式三角形 在 MathWorld 课堂中探索此主题

本条目部分由 Christopher Stover 贡献

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参考文献

Borwein, J. and Bailey, D. "Pascal's Triangle." §2.1 in Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, pp. 45-48, 2003.Comtet, L. Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions, rev. enl. ed. Dordrecht, Netherlands: Reidel, p. 93, 1974.Conway, J. H. and Guy, R. K. "Pascal's Triangle." In The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 68-70, 1996.Courant, R. and Robbins, H. What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd ed. Oxford, England: Oxford University Press, p. 17, 1996.Crandall, R. and Pomerance, C. Research Problem 8.22 in Prime Numbers: A Computational Perspective. New York: Springer-Verlag, 2001.de Weger, B. M. M. "Equal Binomial Coefficients: Some Elementary Considerations." Econometric Institute Report from Erasmus University Rotterdam, Econometric Institute, No. 118. http://econpapers.hhs.se/paper/dgreureir/1997118.htm.Gardner, M. "Pascal's Triangle." Ch. 15 in Mathematical Carnival: A New Round-Up of Tantalizers and Puzzles from Scientific American. New York: Vintage Books, pp. 194-207, 1977.Guy, R. K. "The Second Strong Law of Small Numbers." Math. Mag. 63, 3-20, 1990.Guy, R. K. and Klee, V. "Monthly Research Problems, 1969-1971." Amer. Math. Monthly 78, 1113-1122, 1971.Harborth, H. "Number of Odd Binomial Coefficients." Not. Amer. Math. Soc. 23, 4, 1976.Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, p. 31, 1983.Ogilvy, C. S. Tomorrow's Math: Unsolved Problems for the Amateur, 2nd ed. New York: Oxford University Press, 1972.Pappas, T. "Pascal's Triangle, the Fibonacci Sequence & Binomial Formula," "Chinese Triangle," and "Probability and Pascal's Triangle." The Joy of Mathematics. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, pp. 40-41 88, and 184-186, 1989.Pascal, B. Traité du triangle arithmétique, avec quelques autres petits traitez sur la mesme matière at gallica. Paris: G. Desprez, 1665.Pickover, C. A. "Beauty, Symmetry, and Pascal's Triangle." Ch. 54 in Wonders of Numbers: Adventures in Mathematics, Mind, and Meaning. Oxford, England: Oxford University Press, pp. 130-133, 2001.Singmaster, D. "How Often Does an Integer Occur as a Binomial Coefficient?" Amer. Math. Monthly 78, 385-386, 1971.Singmaster, D. "Repeated Binomial Coefficients and Fibonacci Numbers." Fib. Quart. 13, 295-298, 1975.Sloane, N. J. A. Sequences A003015/M5374, A003016/M0227, A059233, A006046/M2445, A007318/M0082,A020857, A077464, and A090162 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Smith, D. E. A Source Book in Mathematics. New York: Dover, p. 86, 1984.Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, pp. 284-285, 1999.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, pp. 174-175, 1991.Wolfram, S. "Computation Theory of Cellular Automata." Comm. Math. Phys. 96, 15-57, 1984.Wolfram, S. A New Kind of Science. Champaign, IL: Wolfram Media, pp. 870 and 931-932, 2002.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

帕斯卡三角形

请引用为

Stover, Christopher 和 Weisstein, Eric W. "帕斯卡三角形。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/PascalsTriangle.html

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