生成函数

(1)

其系数给出序列 ${a_0,a_1,...}$ 。

Wolfram 语言命令GeneratingFunction[expr, n, x] 给出变量中序列的生成函数，该序列的第项是 expr。给定一个项的序列，FindGeneratingFunction[a1, a2, ..., x] 尝试查找变量中的一个简单生成函数，其第个系数是。

给定一个生成函数，可以使用以下命令计算相应级数中第项的解析表达式SeriesCoefficient[expr, x, x0, n]。生成函数有时被称为“枚举” (Hardy 1999, p. 85)。

下表给出了给出非负整数的前几个幂的生成函数。

		级数
1

数论中特殊函数有很多漂亮的生成函数。一些特别好的例子是

			(2)
			(3)
			(4)

对于分拆函数 P，其中是 q-Pochhammer 符号，以及

			(5)
			(6)
			(7)

对于斐波那契数。

生成函数在组合枚举问题中非常有用。例如，子集和问题，即询问从 M 个给定整数中选择 m 个，使得它们的和等于 s 的方法数，可以使用生成函数来解决。

数字序列的生成函数由在变量中的 Z 变换给出 (Germundsson 2000)。

另请参阅

累积生成函数, 枚举, 指数生成函数, 形式幂级数, 矩量生成函数, 递推关系, 子集和问题, Z 变换在 MathWorld 课堂中探索此主题

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参考文献

Bender, E. A. and Goldman, J. R. "Enumerative Uses of Generating Functions." Indiana U. Math. J. 20, 753-765, 1970/1971.Bergeron, F.; Labelle, G.; and Leroux, P. "Théorie des espèces er Combinatoire des Structures Arborescentes." Publications du LACIM. Québec, Montréal, Canada: Univ. Québec Montréal, 1994.Cameron, P. J. "Some Sequences of Integers." Disc. Math. 75, 89-102, 1989.Doubilet, P.; Rota, G.-C.; and Stanley, R. P. "The Idea of Generating Function." Ch. 3 in Finite Operator Calculus (Ed. G.-C. Rota). New York: Academic Press, pp. 83-134, 1975.Germundsson, R. "Mathematica Version 4." Mathematica J. 7, 497-524, 2000.Graham, R. L.; Knuth, D. E.; and Patashnik, O. Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1994.Harary, F. and Palmer, E. M. Graphical Enumeration. New York: Academic Press, 1973.Hardy, G. H. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, p. 85, 1999.Lamdo, S. K. Lectures on Generating Functions. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2003.Leroux, P. and Miloudi, B. "Généralisations de la formule d'Otter." Ann. Sci. Math. Québec 16, 53-80, 1992.Riordan, J. Combinatorial Identities. New York: Wiley, 1979.Riordan, J. An Introduction to Combinatorial Analysis. New York: Wiley, 1980.Rosen, K. H. Discrete Mathematics and Its Applications, 4th ed. New York: McGraw-Hill, 1998.Sloane, N. J. A. and Plouffe, S. "Recurrences and Generating Functions." §2.4 in The Encyclopedia of Integer Sequences. San Diego, CA: Academic Press, pp. 9-10, 1995.Stanley, R. P. Enumerative Combinatorics, Vol. 1. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 63, 1996.Viennot, G. "Une Théorie Combinatoire des Polynômes Orthogonaux Généraux." Publications du LACIM. Québec, Montréal, Canada: Univ. Québec Montréal, 1983.Wilf, H. S. Generatingfunctionology, 2nd ed. New York: Academic Press, 1994.

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Weisstein, Eric W. "生成函数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/GeneratingFunction.html

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