无平方因子数

如果一个数的素数分解不包含重复的因子，则称该数为无平方因子数（有时也称为 quadratfrei；Shanks 1993）。因此，所有的素数显然都是无平方因子数。按照惯例，数字 1 也被认为是无平方因子数。无平方因子数包括 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, ... (OEIS A005117)。含平方因子数（即，包含至少一个平方因子的数）包括 4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, ... (OEIS A013929)。

Wolfram 语言函数SquareFreeQ[n] 确定一个数是否为无平方因子数。请注意，出于技术原因，Wolfram 语言将 1 视为无平方因子数，这个惯例与当时定义一个数为无平方因子数是一致的，其中是莫比乌斯函数。因此，数字 1 有一个有点奇怪的特点，即它同时是完全平方数和无平方因子数。

令其中是无平方因子数，且其中包含一个或多个平方因子，使得。那么

			(1)
			(2)

对于，且是黎曼 zeta 函数（Hardy 和 Wright 1979, p. 255）。

上面绘制了前个整数的值在一个的网格上，其中无平方因子数值以白色显示。清晰的模式显现出来，其中数字的倍数各自共享一个或多个重复因子。

目前还没有已知的多项式时间算法来识别无平方因子整数或计算整数的无平方因子部分。事实上，这个问题可能不比整数分解的一般问题更容易（显然，如果一个整数可以完全分解，则是无平方因子数当且仅当它不包含重复的因子）。这个问题是数论中一个重要的未解决问题，因为计算代数数域的整数环可以归结为计算整数的无平方因子部分（Lenstra 1992, Pohst 和 Zassenhaus 1997）。

Sylvester 序列中小于的所有数字都是无平方因子数，并且在该序列中尚未发现含平方因子数 (Vardi 1991)。每个卡迈克尔数都是无平方因子数。二项式系数仅当 , 3, 4, 6, 9, 10, 12, 36, ... 时才是无平方因子数，并且在小于的范围内没有其他值。中心二项式系数仅当 , 2, 3, 4, 5, 7, 8, 11, 17, 19, 23, 71, ... (OEIS A046098) 时才是无平方因子数，并且在小于 1500 的范围内没有其他值。

令为小于的正无平方因子数的数量（Hardy 和 Wright 1979, p. 251）。那么对于 , 2, ...，前几个值是 0, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 11, 11, ... (OEIS A013928)。的和包括

			(3)
			(4)
			(5)
			(6)
			(7)

其中是莫比乌斯函数。

无平方因子数的渐近数量由下式给出

(8)

（Landau 1974, pp. 604-609；Nagell 1951, p. 130；Hardy 和 Wright 1979, pp. 269-270；Hardy 1999, p. 65）。因此，渐近密度为 (OEIS A059956；Wells 1986, p. 28；Borwein 和 Bailey 2003, p. 139)，其中是黎曼 zeta 函数。对于 , 100, 1000, ... 的值分别为 7, 61, 608, 6083, 60794, 607926, 6079291, 60792694, 607927124, 6079270942, ... (OEIS A071172)。

类似地，无平方因子高斯整数的渐近密度由 (OEIS A088454) 给出，其中是卡塔兰常数（Pegg；Collins 和 Johnson 1989；Finch 2003, p. 601）。

莫比乌斯函数由下式给出

$mu(n)={0 if n has one or more repeated prime factors; 1 if n=1; (-1)^k if n is product of k distinct primes,$

(9)

因此表示是无平方因子数。的渐近公式等价于公式

(10)

（Hardy 和 Wright 1979, p. 270）

令为满足且的连续数对的数量，其中和都是无平方因子数。对于 , 1, ... 的值分别为 1, 5, 33, 323, 3230, 32269, 322619, 3226343, 32263377, 322634281, 3226340896, ... (OEIS A087618)。那么的渐近值由下式给出

			(11)
			(12)

（OEIS A065474；Carlitz 1932, Heath-Brown 1984），其中是第个素数，F 是 Feller-Tornier 常数。

另请参阅

二项式系数, 无四次幂因子数, 无忧偶, 合数, 无立方因子数, Erdős 无平方因子猜想, Feller-Tornier 常数, 斐波那契数, Korselt 判据, 莫比乌斯函数, 素数, 黎曼 Zeta 函数, Sárkőzy 定理, 平方数, 无平方因子分解, 无平方因子部分, 含平方因子数, Sylvester 序列在 MathWorld 课堂中探索这个主题

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参考文献

Bellman, R. and Shapiro, H. N. "The Distribution of Squarefree Integers in Small Intervals." Duke Math. J. 21, 629-637, 1954.Borwein, J. and Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, 2003.Carlitz, L. "On a Problem in Additive Arithmetic. II." Quart. J. Math. 3, 273-290, 1932.Collins, G. E. and Johnson, J. R. "The Probability of Relative Primality of Gaussian Integers." Proc. 1988 Internat. Sympos. Symbolic and Algebraic Computation (ISAAC), Rome (Ed. P. Gianni). New York: Springer-Verlag, pp. 252-258, 1989.Finch, S. R. Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, 2003.Hardy, G. H. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, 1999.Hardy, G. H. and Wright, E. M. "The Number of Squarefree Numbers." §18.6 in An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. Oxford, England: Clarendon Press, pp. 269-270, 1979.Heath-Brown, D. R. "The Square Sieve and Consecutive Square-Free Numbers." Math. Ann. 266, 251-259, 1984.Landau, E. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, 3rd ed. New York: Chelsea, 1974.Lenstra, H. W. Jr. "Algorithms in Algebraic Number Theory." Bull. Amer. Math. Soc. 26, 211-244, 1992.Nagell, T. Introduction to Number Theory. New York: Wiley, p. 130, 1951.Pegg, E. Jr. "The Neglected Gaussian Integers." http://www.mathpuzzle.com/Gaussians.html.Pohst, M. and Zassenhaus, H. Algorithmic Algebraic Number Theory. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 429, 1997.Shanks, D. Solved and Unsolved Problems in Number Theory, 4th ed. New York: Chelsea, p. 114, 1993.Sloane, N. J. A. Sequences A005117/M0617, A013928, A013929, A046098, A059956, A065474, A071172, A087618, and A088454 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Vardi, I. "Are All Euclid Numbers Squarefree?" §5.1 in Computational Recreations in Mathematica. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 7-8, 82-85, and 223-224, 1991.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Middlesex, England: Penguin Books, 1986.

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无平方因子数

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Weisstein, Eric W. “无平方因子数。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Squarefree.html

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