三角形数 
是一个 图形数，可以用三角形点阵的形式表示，其中第一行包含一个元素，随后的每一行都比前一行多一个元素。上面以 
、 
、... 为例进行了说明。因此，三角形数是 1、 
、 
、 
、...，因此对于 
、2、...，前几个是 1, 3, 6, 10, 15, 21, ... (OEIS A000217)。
更正式地说，三角形数是通过将所有小于或等于给定正整数 
的正整数相加而获得的数，即，
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(1)
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其中 
是一个 二项式系数。因此，一群 
人之间可以发出的不同碰杯声的数量（这仅仅是 
）由三角形数 
给出。
因此，三角形数 
是 阶乘 
的加法模拟。
上面显示了表示为二进制位的序列的前几个三角形数的图。顶部部分显示了 
到 
，底部显示了接下来的 510 个值。
奇数三角形数由 1, 3, 15, 21, 45, 55, ... (OEIS A014493) 给出，而偶数三角形数是 6, 10, 28, 36, 66, 78, ... (OEIS A014494)。
给出了 四面体数 的数量和排列（这也是 保龄球 瓶的排列），而 
给出了 台球 中球的数量和排列。三角形数满足 递推关系
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以及
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此外，三角形数可以通过以下方式与平方数关联：
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（Conway 和 Guy 1996），如上图所示（Wells 1991，第 198 页）。
三角形数的普通 生成函数 为
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和 指数生成函数 为
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（Sloane 和 Plouffe 1995，第 9 页）。
每隔一个三角形数 
都是一个 六边形数，其中
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此外，每个 五边形数 都是三角形数的 1/3，其中
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连续三角形数的和是一个 平方数，因为
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 |  | ![1/2r[(r+1)+(r-1)]](/images/equations/TriangularNumber/Inline67.svg) |
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所有 偶数 完全数 都是三角形数 
，其中 素数 
。此外，每个 偶数 完全数 
都是 形式
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其中 
是一个三角形数，其中 
(Eaton 1995, 1996)。因此，嵌套表达式
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为任何 
生成三角形数。一个 整数 
是一个三角形数 当且仅当 
是一个 平方数 
。
数字 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, ... (OEIS A001110) 是 平方三角形数，即同时是三角形数和 平方数 的数字 (Pietenpol 1962)。相应的平方根是 1, 6, 35, 204, 1189, 6930, ... (OEIS A001109)，并且相应的三角形数 
的索引是 
、8、49、288、1681、... (OEIS A001108)。
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其唯一的解是
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（Guy 1994，第 147 页）。
下表给出了具有素数索引 
的三角形数 
。
| 类别 | Sloane | 序列 |
具有素数索引的  | A034953 | 3, 6, 15, 28, 66, 91, 153, 190, 276, 435, 496, ... |
具有素数索引的奇数  | A034954 | 3, 15, 91, 153, 435, 703, 861, 1431, 1891, 2701, ... |
具有素数索引的偶数  | A034955 | 6, 28, 66, 190, 276, 496, 946, 1128, 1770, 2278, ... |
根据 Cesàro 在 1886 年的确定 (Le Lionnais 1983, p. 56)，使得 
是三角形数四倍的两个 整数 中最小的是 5。唯一是三角形数的 斐波那契数 是 1、3、21 和 55 (Ming 1989)，唯一是三角形数的 佩尔数 是 1 (McDaniel 1996)。野兽数 666 是三角形数，因为
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事实上，它是最大的 重覆数字 三角形数 (Bellew 和 Weger 1975-76)。
的正除数都具有 
的形式，
的正除数都具有 
的形式，而 
的正除数都具有 
的形式；也就是说，它们的十进制数字以 1 或 9 结尾。
费马多边形数定理 指出，每个 正整数 都是至多三个三角形数、四个 平方数、五个 五边形数 和 
个 
-多边形数 的和。高斯证明了三角形的情况 (Wells 1986, p. 47)，并在 1796 年 7 月 10 日在他的日记中记录了这一事件，并带有符号
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这种情况等同于每个 形式 为 
的数都是三个 奇数 平方数 的和的陈述 (Duke 1997)。狄利克雷推导出了一个 整数 
可以表示为三个三角形数之和的方式的数量 (Duke 1997)。对于 形式 为 
的 素数，结果特别简单，在这种情况下，它是平方模 
的数量减去从 1 到 
的 区间 内的非平方模 
的数量 (Deligne 1973, Duke 1997)。
唯一是三个连续 整数 的 乘积 的三角形数是 6, 120, 210, 990, 185136, 258474216 (OEIS A001219; Guy 1994, p. 148)。
