级数

级数是由加法运算符组合在一起的项的无限有序集合。“无穷级数”一词有时用于强调级数包含无限数量的项。级数中项的顺序可能很重要，因为 Riemann 级数定理 指出，通过对项进行适当的重排，所谓的 条件收敛 级数可以收敛到任何期望的值，或者发散。

可以使用 Wolfram 语言 确定级数收敛的条件，使用SumConvergence[a, n].

如果级数的连续项之间的差是常数，则该级数被称为 等差级数。如果级数中每两个连续项的比率 是求和索引 的常数函数，则该级数称为 等比级数。比率是 有理函数 的更一般情况产生称为 超几何级数 的级数。

级数可能收敛到确定的值，也可能不收敛，在这种情况下，它被称为发散级数。令级数中的项表示为 ，令第 个 部分和 由下式给出

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并令部分和序列由 给出。如果部分和序列收敛到确定的值，则称该级数收敛。另一方面，如果部分和序列不收敛到 极限 （例如，它振荡或趋近于 ），则称该级数发散。收敛级数的一个例子是 等比级数

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发散级数的一个例子是 调和级数

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有趣的是，虽然 调和级数 发散到无穷大，但 交错调和级数 收敛到 自然对数 2，

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另一个著名的收敛无穷级数是 Brun 常数。

许多称为 收敛性检验 的方法可用于确定给定级数是否收敛。虽然级数的项可以有任意符号，但通常可以在所有项都是 正 的“最坏情况”下计算收敛性质，然后应用于手头的特定级数。如果由 的绝对值形成的级数

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收敛，则称项 的级数是 绝对收敛 的。

一种特别强的收敛类型称为 一致收敛，一致收敛的级数具有特别“良好”的性质。例如，一致收敛 的连续函数级数的和是连续的。收敛级数 可以逐项 求导，前提是级数的函数具有连续导数，并且 导数 的级数是 一致收敛 的。最后，一致收敛 的连续函数级数可以逐项 积分。

有关各种级数运算的 系数 表格，请参见 Abramowitz 和 Stegun (1972, p. 15)。

虽然计算任意收敛无穷级数的解析表达式可能很困难，但许多算法可以处理各种常见的级数类型。Wolfram 语言 计算系统实现了许多这些算法。也存在用于计算任何但最 病态 级数的数值的一般技术 (Braden 1992)。

一个特定的无穷级数恒等式由下式给出

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对于 。

Apostol (1997, p. 25) 给出了解析和

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其中 是 伯努利数。

Ramanujan 发现了有趣的级数恒等式

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(Preece 1928; Hardy 1999, p. 7)，可以写成超几何恒等式

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以下类型的无穷级数（幂和）也可以解析计算，

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其中 是 Pochhammer 符号。

Gosper 指出和

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(OEIS A100074)。

以下形式的无穷级数可以以闭合形式完成。

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其中 是 阶多项式 。前几个多项式是

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(OEIS A085470)。

相关的无穷级数

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也可以以闭合形式完成，其中 是 阶多项式 。前几个多项式是

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(OEIS A085471)。