希尔伯特问题

希尔伯特问题是由希尔伯特提出的一系列（最初）未解决的数学问题。在印刷稿中出现的总共 23 个问题中，有 10 个实际上是在 1900 年 8 月 8 日于巴黎举行的第二届国际数学家大会上提出的。 特别是，希尔伯特提出的问题是 1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 和 22 (Derbyshire 2004, p. 377)。此外，最终的 23 个问题列表遗漏了一个关于证明论的附加问题 (Thiele 2001)。

希尔伯特问题旨在作为问题类型的示例，这些问题的解决方案将推动数学学科的发展。 因此，其中一些是研究领域，因此并非严格意义上的“问题”。

1. “康托尔关于连续统基数的问题。” 关于在可数集的基数和连续统的基数之间是否存在超限数的问题，哥德尔和柯恩在他们对连续统假设的解决方案中回答了这个问题，即答案取决于假定的特定版本的集合论。 关于连续统的数是否可以被认为是良序集的问题与策梅洛的选择公理有关。 1963 年，选择公理被证明独立于集合论中所有其他公理。 关于这些结果是否为这个问题提供了解决方案，尚未达成普遍共识。

2. “算术公理的相容性。” 哥德尔第二不完备性定理表明，无法证明逻辑公理是自洽的，因为任何足够有趣的能够形式化自身相容性的形式系统，可以证明自身的相容性 当且仅当 它是不相容的。 关于哥德尔和根岑的结果是否提供了解决方案，尚未达成共识。

3. 给出两个不能分解为全等四面体，也不能通过添加全等四面体来分解的四面体。 德恩 (Dehn) (1900, 1902) 表明，正四面体不能分解为有限数量的全等四面体（直接分解或通过连接全等四面体），然后重新组装成一个立方体。 从这个结果立即得出结论，两个四面体不能像希尔伯特提出的那样分解。

4. 找到几何，如果保留顺序和关联公理，削弱合同公理，并省略平行公设的等价物，则这些几何的公理最接近欧几里得几何的公理。 这个问题由 G. Hamel 解决。

5. 对于定义连续变换群的函数，是否可以避免可微性的假设？ （这是柯西函数方程的推广。） John von Neumann 在 1930 年为双紧群解决了这个问题。 也为阿贝尔情况以及 1952 年的可解情况解决了这个问题，Montgomery 和 Zippin 提供了补充结果（随后 Yamabe 在 1953 年将其合并）。 Andrew Gleason 在 1952 年表明，对于所有局部双紧群，答案也为“是”。

6. 物理学可以被公理化吗？

7. 令 为代数数， 为无理数。 那么 是超越数吗？ 特别是，格尔丰德-施奈德常数 和格尔丰德常数 是超越数吗 (Wells 1986, p. 45)？ 已知 对于 为无理代数数的特殊情况是超越数，正如 Aleksander Gelfond 在 1934 年证明的结果，现在被称为格尔丰德定理 (Courant and Robins 1996)。 然而，非代数无理数 的情况尚未解决，已知的解决方案仅适用于退化构造，例如 , 。

8. 证明黎曼猜想。猜想仍然既未被证明也未被证伪。

9. 构建数论中互反律的推广。

10. 是否存在用于求解丢番图方程的通用算法？ Yuri Matiyasevich 在 1970 年证明了获得一般解是不可能的 (Matiyasevich 1970, Davis 1973, Davis and Hersh 1973, Davis 1982, Matiyasevich 1993)，他通过证明关系 （其中 是第 个斐波那契数）是丢番图的。 更具体地说，Matiyasevich 表明存在一个多项式 ，变量为 , 和一些其他变量 , , , ... 具有属性 当且仅当 存在整数 , , , ... 使得 。

11. 将二次域的结果推广到任意整代数域。

12. 通过使用特殊值显式构造希尔伯特类域，将克罗内克定理推广到任意代数域。 这要求构造在多个变量中具有类似于指数函数和椭圆模函数性质的全纯函数 (Holzapfel 1995)。

13. 证明不可能用两个变量的函数求解一般的七次方程。

14. 证明相对整函数系统的有限性。

15. 证明 Schubert 的枚举几何的合理性 (Bell 1945)。

16. 研究实代数曲线和曲面的拓扑结构。 有关更多详细信息，请参见 Gudkov 和 Utkin (1978)、Ilyashenko 和 Yakovenko (1995) 以及 Smale (2000)。

17. 找到由平方数表示定形式的方法。

18. 构建具有全等多面体的空间。

19. 分析变分问题解的解析性质。

20. 求解一般边值问题。

21. 给定单值群求解微分方程。 更技术性地说，证明始终存在一个具有给定奇点和给定单值群的福克斯系统。 已经解决了几个特殊情况，但 B. Bolibruch 在 1989 年找到了一个否定解 (Anasov 和 Bolibruch 1994)。

22. 单值化。

23. 推广变分法的方法。