共线

如果三个或更多点 , , , ..., 位于同一条直线 上，则称它们是共线的。点所在的直线，特别是如果它与几何图形（例如三角形）相关，有时被称为轴。

两个点显然是共线的，因为两个点确定一条线。

三个点 对于 , 2, 3 共线 当且仅当 距离的比率满足

(1)

通过注意到由三个点确定的三角形的面积在当且仅当它们共线时（包括两个或全部三个点共点的退化情况）为零，可以获得稍微更易于处理的条件，即，

(2)

或者，以展开形式表示，

(3)

这也可以写成向量形式，如

(4)

其中 是分量之和，，并且 。

三个点 , 和 共线的条件也可以表示为：任意一个点到由其他两个点确定的直线的距离为零。在三维空间中，这意味着在点到直线的距离中设置

(5)

简单地给出

(6)

其中 表示叉积。

由于三个点共线，如果 对于某个常数 ，则得出三维空间中共线点满足

			(7)
			(8)

根据行列式运算规则。虽然这是共线的必要条件，但它不是充分条件。（如果将任何一个点作为原点，则行列式显然为零。另一个反例由非共线点 , , 提供，对于这些点 但 。）

在三线坐标中，三个点 , , 和 共线，如果行列式

(9)

(Kimberling 1998, p. 29)。

设点 , , 和 分别位于三角形 的边上或其延长线上，并将这些点关于三角形边中点反射以获得 , , 和 。那么 , , 和 共线 当且仅当 , , 和 共线 (Honsberger 1995)。