Brocard 点

第一 Brocard 点 是三角形 的内部点 （也记作 或 ），其中点以逆时针顺序标记，使得角 、 和 相等，且唯一的这样的角记为 。它不是一个三角形中心，但具有三线坐标

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（Kimberling 1998, p. 47）。

请注意，在查阅文献时需要格外小心，因为反转三角形顶点的标记顺序会导致 Brocard 点的交换。

第二 Brocard 点 是内部点 （也记作 或 ），使得角 、 和 相等，且唯一的这样的角记为 。它不是一个三角形中心，但具有三线坐标

(2)

（Kimberling 1998, p. 47）。

此外，两个角 相等，并且这个角被称为Brocard 角，

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前两个 Brocard 点是等角共轭点（Johnson 1929, p. 266）。它们由法国陆军军官 Henri Brocard 于 1875 年描述，尽管 Jacobi 曾在此之前进行过研究，而 Crelle 在 1816 年也研究过（Wells 1991；Honsberger 1995, p. 98）。它们满足

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其中 是外心， 是外接圆半径，并且 ，其中 是外心， 是Brocard 角（Honsberger 1995, p. 106）。

通常的说法（Bernhart 1959；Wells 1991, pp. 21-22；Marshall et al. 2005）归因于 Brocard，以回应 Edouard Lucas 在 1877 年提出的问题，即如果三只狗从三角形的顶点出发，并以恒定速度追逐它们的左邻或右邻，则三只狗将在 或 处相遇，这是不正确的。通过考虑一个接近共线的等腰三角形 可以看出这一点，并注意到其中两只狗需要比另一只狗走得远得多，因此不可能以相同的速度行进（参见 Peterson 2001，Nester），以便在点 或 之一处与其他两只狗相遇。

一条 Brocard 线、一条三角形中线 和一条交心线（每种线中取一条）是共点的，其中 、 和 交于一点，其中 是三角形重心， 是交心点。类似地，、 和 交于一点，该点是第一个点的等角共轭点（Johnson 1929, pp. 268-269；Honsberger 1995, pp. 121-124）。

设 是通过顶点 和 并与直线 在 处相切的圆，对于 和 也是如此。那么圆 、 和 在第一 Brocard 点 处相交。类似地，设 是通过顶点 和 并与直线 在 处相切的圆，对于 和 也是如此。那么圆 、 和 在第二 Brocard 点 处相交（Johnson 1929, pp. 264-265；Honsberger 1995, pp. 99-100）。

垂足三角形 和 是全等的，并且与三角形 相似（Johnson 1929, p. 269）。涉及 Brocard 点的长度包括

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将线段 、 和 延伸到 的外接圆以形成 ，并将线段 、 和 延伸以形成 。那么 和 与 全等（Honsberger 1995, pp. 104-106）。

第三 Brocard 点 通过三角形中心函数与给定的三角形相关

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（Casey 1893, Kimberling 1994），并且是Kimberling 中心 。第三 Brocard 点 （或 或 ）与Spieker 中心以及其三角形的内心的等张共轭点共线。