折纸

折纸是日本的纸张折叠艺术。在传统折纸中，作品通常使用单张彩色纸张制作，纸张通常（但不总是）是正方形的。在模块化折纸中，许多单独的“单元”——每个单元都由单张纸折叠而成——组合起来形成复合结构。折纸是一种极其丰富的艺术形式，已经设计出成千上万种物体的作品，从龙到建筑物到蔬菜，应有尽有。许多数学形状也可以通过折纸构建，特别是使用模块化折纸。上面的图片展示了一些模块化多面体折纸，以及由 L. Zamiatina 在 Wolfram 语言中构建的动画鹤。

为了区分纸张可以折叠的两个方向，折纸中通常使用上面图示的符号。“山折”是形成山峰的折叠，而“谷折”是形成凹槽的折叠。

电视罪案剧集NUMB3RS第二季的剧集“Judgment Call”（2006 年）中，Charlie 讨论了折纸中折叠的类型。

立方体倍积和三等分角问题可以使用折纸术解决，尽管它们无法使用传统的几何作图规则解决。折纸数学中最近出现了一些非常强大的结果。一个非常普遍的结果表明，在适当折叠后，任何平面直线图形都可以通过一次直线切割从一张纸上剪下来（Demaine 等人，1998 年，1999 年；O'Rourke，1999 年）。另一个结果是，任何多面体都可以用足够大的正方形纸张包裹。这意味着任何连通的、平面的、多边形区域都可以用一张正方形纸折叠成的扁平折纸覆盖。此外，面的任何双色着色都可以用两面分别为这些颜色的纸张实现（Demaine 等人，1999 年；O'Rourke，1999 年）。

羽田（Huzita，1992 年）提出了目前已知的最强大的折纸公理集（Hull）。

1. 给定两点 和 ，我们可以折叠一条连接它们的直线。

2. 给定两点 和 ，我们可以将 折叠到 上。

3. 给定两条直线 和 ，我们可以将直线 折叠到 上。

4. 给定一点 和一条直线 ，我们可以做一个垂直于 并穿过点 的折叠。

5. 给定两点 和 以及一条直线 ，我们可以做一个将 折叠到 上并穿过点 的折叠。

6. 给定两点 和 以及两条直线 和 ，我们可以做一个将 折叠到直线 上并将 折叠到直线 上的折叠。

羽田遗漏的第七条公理后来在 2002 年被羽鸟（Hatori）发现 (Lang)。

7. 给定一点 和两条直线 和 ，我们可以做一个垂直于 并将 折叠到直线 上的折叠。