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Reuleaux 四面体

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Reuleaux 四面体，有时也称为球形四面体，是四个等半径球体共有的三维实体，这些球体的放置方式使得每个球体的中心都位于其他三个球体的表面上。因此，球体的中心位于正四面体的顶点处，并且该实体由一个“膨胀的”四面体组成，带有四个弯曲的边。

请注意，此名称（此处首次提出）是基于几何形状是Reuleaux 三角形的三维类似物这一事实，而不是它具有恒定宽度的事实。实际上，Reuleaux 四面体不是恒定宽度的实体。然而，Meißner（1911）展示了如何修改 Reuleaux 四面体以形成恒定宽度的曲面，方法是用圆形弧的旋转曲面形成的弯曲补片替换其三个边缘弧。根据替换哪三个边缘弧（具有共同顶点的三个或形成三角形的三个），可以产生两个不全等的形状，称为迈斯纳四面体（Meissner tetrahedra）（Lachand-Robert 和 Oudet 2007）。

为了分析 Reuleaux 四面体，固定一个单位边长的四面体，其顶点位于点 (0,0,-sqrt(6)/4)、(sqrt(3)/3,0,sqrt(6)/12)、(-sqrt(3)/6,1/2,sqrt(6)/12) 和 (-sqrt(3)/6,-1/2,sqrt(6)/12)。同时求解四个球体中三个的方程，得到 x 和 y 作为 z 的函数，然后得到

x=1/2sqrt(2)z+1/8sqrt(6)sqrt(5-4sqrt(6)z(1+sqrt(6)z))
(1)
y=1/2sqrt(6)z+1/8sqrt(2)sqrt(5-4sqrt(6)z(1+sqrt(6)z)).
(2)

当 z 从 sqrt(6)/12 经过到 (6-sqrt(6))/12 时，描绘出半个弧，并且

ds=sqrt(((dx)/(dz))^2+((dy)/(dz))^2+1)dz
(3)
=3sqrt(2/(5-4sqrt(6)z(1+sqrt(6)z)))dz,
(4)

因此，连接顶点的曲线的弧长由下式给出

s=intds
(5)
=6sqrt(2)int_(sqrt(6)/12)^(sqrt(6)(sqrt(6)-1)/12)[5-4sqrt(6)z(1+sqrt(6)z)]^(-1/2)dz.
(6)

进行坐标变换，

s=sqrt(3)int_2^(sqrt(6))(6-u^2)^(-1/2)du
(7)
=sqrt(3)cot^(-1)(sqrt(2))
(8)
=1.06604....
(9)

使用高斯-博内公式得出表面积为

S=8pi-18cos^(-1)(1/3)
(10)
=2.975471...
(11)

（OEIS A202473; Harbourne 2010; Hynd 2023）。

体积在解析计算上要复杂得多。从四面体的质心设置球坐标，使得从底部顶点到半径向量的距离为 1，即，

r^2cos^2thetasin^2phi+r^2sin^2thetasin^2phi+(rcosphi+1/4sqrt(6))^2=1,
(12)

简化为

3/8+r^2+1/2sqrt(6)rcosphi=1,
(13)

得到

r(theta,phi)=1/4[sqrt(3cos(2phi)+13)-sqrt(6)cosphi].
(14)

通过对称性，Reuleaux 四面体的体积由下式给出

V=24int_0^(pi/3)int_0^(phi(theta))int_0^(r(theta,phi))r^2sinphidrdphidtheta.
(15)

关于 r 的积分可以立即完成，

V=1/8int_0^(pi/3)int_0^(phi(theta))[sqrt(3cos(2phi)+13)-sqrt(6)cosphi]^3sinphidphidtheta.
(16)

现在将右上边缘参数化为方位角坐标 theta 的函数，如下所示

x=(costheta)/(sqrt(3)costheta+3sintheta)
(17)
y=(sintheta)/(sqrt(3)costheta+3sintheta)
(18)
z=1/(12)sqrt(6).
(19)

然后可以将极角 phi 解为 theta 的函数，如下所示

phi(theta)=cos^(-1)(z/(sqrt(x^2+y^2+z^2)))
(20)
=tan^(-1)((2sqrt(2))/(costheta+sqrt(3)sintheta)).
(21)

关于 phi 的积分可以通过进行坐标变换来完成

u=(2sqrt(2))/(costheta+sqrt(3)sintheta),
(22)

得到

V=int_0^(pi/3)1/(32)[256-45sqrt(6)+42sqrt(6)cos(2tan^(-1)u)-(58sqrt(13+3cos(2tan^(-1)u)))/(sqrt(1+u^2))+6sqrt(13+3cos(2tan^(-1)u))cos(3tan^(-1)u)+3sqrt(6)cos(4tan^(-1)u)]dtheta.
(23)

进行变量替换

u=(2sqrt(2(1+3t^2)))/(1+3t)
(24)

然后给出体积为

V=int_0^1[(8sqrt(3))/(1+3t^2)-(16sqrt(2)(3t+1)(4t^2+t+1)^(3/2))/((3t^2+1)(11t^2+2t+3)^2)-(sqrt(2)(249t^2+54t+65))/((11t^2+2t+3)^2)]dt.
(25)

这个积分可以使用计算机代数进行解析计算，但解析形式包含反三角函数和对数项，这些项没有以最简单的形式表示结果。然而，使用表面积结合一些简单的几何方法，可以几乎立即得到完全简化的形式，如下所示

V=8/3pi-(27)/4cos^(-1)(1/3)+1/4sqrt(2)
(26)
=0.42215773...
(27)

（OEIS A102888; Harbourne 2010; Hynd 2023）。

另请参阅

恒定宽度曲线, 双曲四面体, 迈斯纳四面体, Reuleaux 三角形, 球体, 球体-球体交集, 球面三角形, 施泰因梅茨实体, 四面体

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参考文献

Encyclopedia Geometrica. "3D Reuleaux." http://www.fastgeometry.com/Reuleaux/ConstantBreadth3DShapes.htm.Harbourne, B. "Volume and Surface Area of the Spherical Tetrahedron (AKA Reuleaux Tetrahedron) by Geometrical Methods." http://www.math.unl.edu/~bharbourne1/ST/sphericaltetrahedron.html. 2017 年 9 月 10 日。Hynd, R. "The Perimeter and Volume of a Reuleaux Polyhedron." 2023 年 10 月 12 日。 https://arxiv.org/abs/2310.08709.Lachand-Robert, T. and Oudet, É. "Bodies of Constant Width in Arbitrary Dimension." Math. Nachr. 280, 740-750, 2007.Meissner, F. "Über Punktmengen konstanter Breite." Vierteljahresschr. naturforsch. Ges. Zürich 56, 42-50, 1911.Sloane, N. J. A. Sequences A102888 和 A202473 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

请引用为

Weisstein, Eric W. "Reuleaux Tetrahedron." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ReuleauxTetrahedron.html

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