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立方体四面体拾取

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CubeTetrahedronPicking

给定在单位立方体内随机选择的四个点，由这些点确定的四面体的平均体积由下式给出

V^_=(int_0^1...int_0^1_()_(12)|V(x_i)|dx_1...dx_4dy_1...dy_4dz_1...dz_4)/(int_0^1...int_0^1_()_(12)dx_1...dx_4dy_1...dy_4dz_1...dz_4),
(1)

其中多面体顶点位于 (x_i,y_i,z_i) 其中 i=1, ..., 4，并且（有符号）体积由行列式给出

V=1/(3!)|x_1 y_1 z_1 1; x_2 y_2 z_2 1; x_3 y_3 z_3 1; x_4 y_4 z_4 1|.
(2)

该积分非常难以计算，但平均四面体体积的解析结果是

V^_=(3977)/(216000)-(pi^2)/(2160)=0.01384277...
(3)

(OEIS A093524; Zinani 2003)。 请注意，Seidov (2000) 的回复中引用的结果实际上指的是四面体四面体拾取的平均体积。

另请参阅

球体四面体拾取, 立方体, 八面体四面体拾取, 点拾取, 球体四面体拾取, 正方形三角形拾取, 四面体, 四面体四面体拾取

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参考资料

Do, K.-A. and Solomon, H. "A Simulation Study of Sylvester's Problem in Three Dimensions." J. Appl. Prob. 23, 509-513, 1986.Seidov, Z. F. "Letters: Random Triangle." Mathematica J. 7, 414, 2000.Sloane, N. J. A. Sequence A093524 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Zinani, A. "The Expected Volume of a Tetrahedron Whose Vertices are Chosen at Random in the Interior of a Cube." Monatshefte Math. 139, 341-348, 2003.

在 上被引用

立方体四面体拾取

引用为

Weisstein, Eric W. "Cube Tetrahedron Picking." 来自 —— 资源。 https://mathworld.net.cn/CubeTetrahedronPicking.html

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