Dehn 不变量是使用三维多面体的角度和边长定义的常数。它之所以重要，是因为它在多面体剖分和重组下保持不变。
Dehn (1902) 表明，两个可相互剖分的多面体必须具有相等的 Dehn 不变量，从而解决了希尔伯特问题中的第三个问题。后来，Sydler (1965) 表明，两个多面体可以相互剖分当且仅当它们具有相同的体积和相同的 Dehn 不变量。
Dehn 不变量为零是多面体成为空间填充的必要条件（但不是充分条件）。一般来说，根据上述结果，一个多面体要么本身是空间填充的，要么可以被切割并重新组装成空间填充的多面体当且仅当其 Dehn 不变量为零。
平行多面体的 Dehn 不变量为 0。
Conway等人 (1999) 将角度 
称为“纯大地测量角”，如果其六个平方三角函数中的任何一个（因此每个）都是有理数（或无穷大），使用“混合大地测量角”表示纯大地测量角与有理系数的线性组合，并为素数 
和无平方正整数 
定义某些角度 
。然后，他们表明每个纯大地测量角都可以唯一地表示为 
的有理倍数加上角度 
的整数线性组合，这意味着由 
补充的角度 
构成了混合大地测量角空间的基础。然后，他们表明，如果 
对于整数 
、
、
，其中 
是无平方正整数，
和 
互质，并且如果 
的素因数分解为 
(包括重数)，则
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(1)
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对于某些有理数 
。
的显著值包括
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(Conway等人 1999; OEIS A195696, A188595, 和 A105199), 其中 
是二面角，正十二面体的二面角，
是正二十面体的二面角，
是正四面体的二面角。
Conway等人 (1999) 使用这些结果，给出了单位柏拉图和非扭棱阿基米德立体的角度基 
表示的 Dehn 不变量。
许多多面体的预计算 Dehn 不变量在 Wolfram 语言中实现为PolyhedronData[poly,"DehnInvariant"].
