正方形

术语“正方形”可以用来指代平方数（“ 是 的平方”）或几何图形，它是由边长相等的凸四边形构成，且边与边之间成直角，如上图所示。换句话说，正方形是一个四条边的正多边形。

当用作符号时， 表示一个具有给定顶点的正方形几何图形，而 有时用来表示图的积（Clark 和 Suen 2000）。

正方形是等腰梯形、鸢形、平行四边形、四边形、矩形、菱形和梯形的特例。

正方形的对角线互相平分且垂直（在上图中以红色表示）。此外，它们平分每对对角（以蓝色表示）。

边长为 的正方形的周长是

(1)

面积是

(2)

内切圆半径 、外接圆半径 和面积 可以直接从边长为 且有 条边的正多边形的通用公式计算得出：

			(3)
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单位正方形的多边形对角线的长度为 ，有时被称为毕达哥拉斯常数。

方程

(6)

给出了外接圆半径为 1 的正方形，而

(7)

给出了外接圆半径为 的正方形。

如上图所示，在单位正方形内部构建的正方形的面积可以按如下方式找到。如图所示标记 和 ，然后

(8)

(9)

将 (8) 代入 (9) 得到

(10)

展开

(11)

并求解 得到

(12)

代入 得到

(13)

阴影正方形的面积为

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(Detemple 和 Harold 1996)。

正方形的直尺和圆规作图很简单。绘制线段 并构造一个以 为半径的圆。然后构造通过 的垂线 。平分 和 以定位 和 ，其中 与 相对。类似地，在另一个半圆上构造 和 。连接 即可得到一个正方形。

已知正方形内部有无数个点，它们到正方形三个顶点的距离是有理数。将这些距离称为 、 和 ，其中 是正方形的边长，这些解满足

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（Guy 1994）。在这个问题中，、、 和 中有一个能被 3 整除，一个能被 4 整除，一个能被 5 整除。目前尚不清楚是否存在到所有四个顶点的距离都是有理数的点，但这样的解需要附加条件

(16)

在这个问题中， 能被 4 整除，并且 、、 和 都是奇数。如果 不能被 3 (5) 整除，那么 、、 和 中有两个能被 3 (5) 整除（Guy 1994）。

在平行四边形边上向内或向外绘制的四个正方形的中心是另一个正方形的顶点（Yaglom 1962，pp. 96-97；Coxeter 和 Greitzer 1967，p. 84）。