切线球体

任意四个互相切线的球体确定六个切点。如果确定 的两个球体与确定 的两个球体不同，则一对切点 被称为是相对的。因此，这六个切点被分为三对相对的对，对应于将四个球体分成两对的三种方式。这三对相对的切点是重合的（Altshiller-Court 1979，第 231 页；Eppstein 2001）。

切线球体的一个特例是索迪六球环，它由六个球体链组成，这些球体链外部切于两个互相切线的球体，并且内部切于一个外接球。链中圆的挠率服从以下关系

(1)

一个 1798 年的 算额问题 要求分布 30 个半径为 的相同球体，使得它们切于一个半径为 的中心球体，并切于其他四个小球体。这可以通过将球体放置在边长为 的 二十面十二面体（右图）的顶点上来完成（左图），其中半径 和 由下式给出

			(2)
			(3)

（Rothman 1998）。

一般来说，五个互相切线的球体的挠率通过下式相关

(4)

求解 得到

(5)

（Soddy 1937a）。Gosset（1937）指出，根号下的表达式由下式给出

(6)

其中 是以相应四个球体的中心为顶点的四面体的体积。因此， 的方程可以简化地写为

(7)

其中

			(8)
			(9)

（Soddy 1937b）。

此外，由任何一个球体与其他四个球体的四个接触点连接形成的四面体（当所有五个球体都互相接触时）具有相对的边，其乘积是常数

(10)

并且这些四面体的体积是

(11)

（Soddy 1937b）。Gosper 进一步将此结果扩展到 个互相切线的 维超球体，其曲率满足

(12)

求解 得到

(13)

对于（至少） 和 3，根式等于

(14)

其中 是单纯形的容积，该单纯形的顶点是 个独立的超球体的中心。被开方数也可能变为负数，从而产生一个虚数 。对于 ，这对应于一个球体接触三个大的保龄球和一个小的 BB 弹，所有球体都互相切线，这是不可能的。