骰子

骰子（单数 “die”，复数 “dice”）是一个立体，其每个面上都有标记。这些面通常形状相同，使得柏拉图立体和阿基米德对偶体成为显而易见的选择。骰子可以通过抛掷到空中并使其静止在一个面上来“滚动”。骰子在许多机会游戏中被用作选择随机数以进行投注的方式，并且在棋盘游戏或角色扮演游戏中用于确定移动的步数、冲突的结果等等。硬币可以被视为骰子的退化两面情况。

1787 年，莫扎特为音乐创作骰子游戏编写了乐章和说明。其想法是将预先写好的音乐乐章剪切并粘贴在一起以创作小步舞曲 (Chuang)。

最常见的骰子类型是六面立方体，其面上标有数字 1-6。掷出的值由顶部显示的“点数”表示。对于六面骰子，相对的面总是排列成总和为七。这给出了两种可能的镜像排列，其中数字 1、2 和 3 可以按顺时针或逆时针顺序围绕一个角排列。事实上，商业骰子可能具有任一方向。上面的插图分别显示了从沿三倍旋转轴朝向骰子中心观察时，具有逆时针和顺时针排列的 6 面骰子。

立方体具有一个很好的特性，即在底面的对面有一个向上指向的面，可以很容易地从中读取“掷出”的值。例如，对于四面体骰子来说，情况就不是这样了，它必须被拿起并翻过来才能显示下面的数字（尽管可以通过注意在上三个面上没有可见的数字 1-4 来确定）。五个点的排列 Quincunx 对应于六面骰子上掷出 5，被称为五点梅花形。对于两个六面骰子的某些掷法，也有特殊的名称：两个 1 被称为蛇眼，两个 6 被称为火车车厢。

除通常的 6 面立方体之外的骰子形状可从 Dice & Games, Ltd.® 等公司商业购买。Diaconis 和 Keller (1989) 表明，存在除通常的柏拉图立体和阿基米德立体的对偶体之外的“公平”骰子，其中公平骰子是指其对称群在其面上传递作用的骰子（即，等面体）。有 30 个等面体。

...可以如下计算。获得的方式的数量是 ... 在以下公式中的系数

(1)

因为每种可能的排列都贡献一个项。可以写成多项式级数

			(2)
			(3)

因此，所需的数字是 ... 在以下公式中的系数

(4)

展开，

(5)

因此，为了获得的系数，包括所有满足以下条件的项

(6)

因此是

(7)

但是仅当时成立，因此其他项不贡献。此外，

(8)

所以

(9)

其中是向下取整函数，并且

(10)

(Uspensky 1937, 第 23-24 页)。

现在考虑。对于六面骰子，

$k_(max)=|_(p-2)/6_|={0 for 2<=p<=7; 1 for 8<=p<=12,$

(11)

和

			(12)
			(13)
			(14)
			(15)
			(16)

因此，最常见的掷骰结果是 7，概率为，而最不常见的掷骰结果是 2 和 12，概率均为 1/36。

对于六面骰子，

$k_(max)=|_(p-3)/6_|={0 for 3<=p<=8; 1 for 9<=p<=14; 2 for 15<=p<=18,$

(17)

和

			(18)
			(19)
			(20)
		$1/(216){1/2(p-1)(p-2) for 3<=p<=8; -p^2+21p-83 for 9<=p<=14; 1/2(19-p)(20-p) for 15<=p<=18.$	(21)

对于三个六面骰子，最常见的掷骰结果是 10 和 11，概率均为 1/8；最不常见的掷骰结果是 3 和 18，概率均为 1/216。

对于四个六面骰子，最常见的掷骰结果是 14，概率为 73/648；最不常见的掷骰结果是 4 和 24，概率均为 1/1296。

一般来说，对于 -面骰子，最可能的掷骰结果由下式给出

(22)

它可以显式地写成

$p_L(n,s)={1/2n(s+1) for n even; 1/2[n(s+1)-1] for n odd, s even; 1/2n(s+1) for n odd, s odd.$

(23)

对于 6 面骰子，最可能的掷骰结果由下式给出

$p_L(n,6)=|_7/2n_|={7/2n for n even; 1/2(7n-1) for n odd,$

(24)

或 7、10、14、17、21、24、28、31、35、... 对于、3、... (OEIS A030123) 骰子。对应于最可能掷骰结果的概率可以通过将代入通用公式以及

$k_L(n,s)={1/2n for n even; |_(n(s-1)-1)/(2s)_| for n odd, s even; |_(n(s-1))/(2s)_| for n odd, s odd.$

(25)

不幸的是，没有用和表示的简单闭式表达式。然而，对于特定的，可以显式地找到获得最可能掷骰总数的概率。对于个 6 面骰子，概率为 1/6、1/8、73/648、65/648、361/3888、24017/279936、7553/93312、... 对于、3、 ... 。

上面显示了使用个 6 面骰子获得给定总数的概率，适用于、2、3 和 4 个骰子。可以看出，随着骰子数量的增加，它们接近正态分布。

另请参阅

火车车厢, 抛硬币, 掷骰子游戏, 梅雷问题, 埃夫隆骰子, 等面体, 牛顿-佩皮斯问题, 扑克, 五点梅花形, 西切曼骰子, 蛇眼, Yahtzee (骰盅)

使用 Wolfram|Alpha 探索

更多尝试

参考文献

Chuang, J. “莫扎特的音乐骰子游戏。” http://sunsite.univie.ac.at/Mozart/dice/。Cook, K. “骰子有哪些形状？” http://www.dicecollector.com/diceinfo_how_many_shapes.html。Culin, S. “Tjou-sa-a--骰子。” 东方游戏：韩国、中国、日本。 第 72 节。Rutland, VT: Charles E. Tuttle, 第 78-79 页, 1965。Diaconis, P. 和 Keller, J. B. “公平骰子。” Amer. Math. Monthly 96, 337-339, 1989。Dice & Games, Ltd. “多面骰子和爱好游戏骰子。” http://www.dice.co.uk/fs_poly.htm。Evans, D. C. “坐标系：右手和左手骰子。对吗？” http://users.erols.com/ee/dice.htm。Gardner, M. “骰子。” 数学魔术表演：来自《科学美国人》的更多谜题、游戏、消遣、幻觉和其他数学思维技巧。 第 18 章。New York: Vintage, 第 251-262 页, 1978。Pegg, E. Jr. “公平骰子。” http://www.mathpuzzle.com/Fairdice.htm。Pickover, C. A. 奥兹国的数学：来自边缘之外的脑力体操。 New York: Cambridge University Press, 第 245 页, 2002。Robertson, L. C.; Shortt, R. M.; Landry, S. G. “总和公平的骰子。” Amer. Math. Monthly 95, 316-328, 1988。Sloane, N. J. A. “整数序列在线百科全书”中的序列 A030123。Tietze, H. “关于立方体稳定静止位置的数量。” Elem. Math. 7, 97-100, 1948。Uspensky, J. V. 数学概率导论。 New York: McGraw-Hill, 第 23-24 页, 1937。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

骰子

如此引用

Weisstein, Eric W. “骰子。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Dice.html