矩阵

矩阵是一种简洁而有用的方式，可以唯一地表示和处理线性变换。特别是，每个线性变换都可以用矩阵表示，并且每个矩阵都对应于唯一的线性变换。矩阵及其近亲行列式是线性代数中极其重要的概念，最早由 Sylvester (1851) 和 Cayley 提出。

在他 1851 年的论文中，Sylvester 写道：“为此目的，我们必须从一个非正方形的项的矩形排列开始，假设由 行和 列组成。这本身并不代表行列式，但它本身就是一个矩阵，我们可以从中通过确定一个数字 并随意选择 行和 列来形成各种行列式系统，即 阶的方阵。” 由于 Sylvester 对由数字的矩形阵列形成的行列式感兴趣，而不是对阵列本身感兴趣（Kline 1990，第 804 页），因此 Sylvester 使用术语“矩阵”的传统用法来表示“其他事物起源的地方”（Katz 1993）。Sylvester (1851) 随后非正式地使用了术语矩阵，并指出“形成由 行和 列组成的矩形矩阵……。然后，通过随意从此矩阵中删除任何一列而形成的 个行列式都恒为零。” 然而，仍然由 Sylvester 的合作者 Cayley 在 1855 年和 1858 年的论文中以现代形式使用该术语（Katz 1993）。

在他 1867 年关于行列式的专著中，C. L. Dodgson (Lewis Carroll) 反对使用术语“矩阵”，并指出：“我知道“矩阵”一词已被用于表达我使用“块”一词的含义；但当然，前一个词更多地是指代数量可以引入的模具或形式，而不是此类量的实际集合……” 然而，Dodgson 的反对意见未被理睬，术语“矩阵”仍然保留了下来。

由方程组给出的变换

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表示为矩阵方程：

(5)

其中 称为矩阵元素。

一个 矩阵由 行和 列组成，具有实系数的 矩阵集合有时表示为 。为了记住哪个索引指的是哪个方向，请识别最后一个（即右下角）项的索引，因此上述矩阵中最后一个元素 的索引 将其标识为一个 矩阵。请注意，虽然此约定与用于表示画布上绘画的尺寸测量（高度在前，宽度在后）的约定匹配，但它与测量纸张、房间尺寸和窗户所用的约定相反（其中宽度在前，高度在后；例如，8 1/2 英寸乘 11 英寸的纸张宽度为 8 1/2 英寸，高度为 11 英寸）。

如果 ，则矩阵称为方阵；如果 ，则矩阵称为矩形矩阵。一个 矩阵称为列向量，一个 矩阵称为行向量。特殊类型的方阵包括单位矩阵 ，其中 （其中 是克罗内克 delta）和对角矩阵 （其中 是一组常数）。

在本文中，矩阵使用方括号作为分隔符表示，但在一般文献中，它们更常使用圆括号分隔。后一种约定引入了不幸的符号歧义，即形式为 的矩阵与二项式系数

(6)

在本文中以符号形式引用时，矩阵以无衬线字体表示，例如 、 等。在这种简洁的符号中，方程 (5) 中给出的变换可以写成

(7)

其中 和 是向量， 是矩阵。还存在许多其他符号约定，一些作者更喜欢斜体字体。

有时方便地用矩阵元素来表示整个矩阵。因此，矩阵 的第 个元素可以写成 ，而由条目 组成的矩阵可以写成 ，或简写为 。

两个矩阵可以相加（矩阵加法）或相乘（矩阵乘法）以产生一个新的矩阵。单个矩阵的其他常见运算是矩阵对角化、矩阵求逆和转置。

矩阵 的行列式 或 是一个非常重要的量，它出现在许多不同的应用中。 方阵的对角线元素的和称为矩阵迹 ，它也是许多类型计算中的一个重要量。