向量

向量被正式定义为向量空间的元素。在常见的向量空间 (即，欧几里得n-维空间) 中，向量由 个坐标给出，可以表示为 。向量有时根据其坐标的数量来称呼，因此二维向量 通常称为二向量，-维向量通常称为 n-向量，等等。

向量可以相加（向量加法）、相减（向量减法）和与标量相乘（标量乘法）。向量乘法不是唯一确定的，但是可以为向量对定义许多不同类型的乘积，例如点积、叉积和张量直积。

从点 到点 的向量表示为 ，向量 可以表示为 ，或更常见的 。点 通常称为向量的“尾”，而 称为向量的“头”。长度为 1 的向量称为单位向量，并使用帽 表示。

当以分量形式写出时，符号 通常指 。另一方面，当带有下标时，符号 (或 ) 通常指 。

任意向量可以通过除以其范数（即，长度；即，模）来转换为单位向量，

(1)

得到

(2)

零向量，表示为 ，是长度为 0 的向量，因此所有分量都等于零。

由于向量在平移下保持不变，因此通常方便地将尾 视为位于原点，例如，在定义向量加法和标量乘法时。

向量也可以定义为一组 个数字 , ..., ，这些数字根据以下规则变换

(3)

其中使用了爱因斯坦求和约定符号，

(4)

是常数（对应于方向余弦），偏导数是相对于原始和变换后的坐标轴取得的，并且 , ..., (Arfken 1985, p. 10)。这使得向量成为张量的张量秩为一。具有 个分量的向量称为 -向量，而标量因此可以被认为是 1-向量（或 0-张量秩 张量）。向量在平移下是不变的，并且它们在反演时反号。类似于向量但不反演时反号的对象称为伪向量。为了区分向量和伪向量，前者有时称为极向量。

向量在Wolfram 语言中表示为数字列表 a1, a2, ..., an。向量加法然后简单地使用加号书写，例如，a1, a2, ..., an+b1, b2, ..., bn ，而标量乘法通过将标量放在向量旁边（带或不带可选星号）来表示，sa1, a2, ..., an。

设 是在球坐标中定义的单位向量，由下式给出

(5)

那么 的 -分量在单位球表面上的平均值由下式给出

			(6)
			(7)
			(8)

更普遍地，

(9)

对于 、 或 （索引为 1、2、3），并且

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			(11)
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给定向量 、、、，许多量在单位球上的平均值由下式给出

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和

(18)

其中 是克罗内克 delta， 是点积，并且使用了爱因斯坦求和。

映射 ，它将每个 分配给一个向量函数 ，称为向量场。