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反棱柱

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一般的 n-角反棱柱是由相同的顶部和底部 n-角面组成的多面体，其周边由带状的 2n 个具有交替上下方向的三角形构成。

如果顶部和底部面是正 n-边形，彼此在垂直于多边形平面的方向上错位，并且彼此相对旋转 180 degrees/n 度角，则该反棱柱被称为直立反棱柱，其面是等边三角形。

Antiprisms
AntiprismNets

均匀或等边反棱柱，有时简称为“反棱柱”（例如，Cromwell 1997，第 85 页）是由两个正 n-边形和 2n 个等边三角形构成的半正多面体，其中 n-边形彼此相对旋转 180 degrees/n 度角，并在垂直方向上分隔开，使得连接顶部和底部 n-边形的三角形边与 n-边形的边长相同。 这样的反棱柱具有最高的对称性，并且它们的网格特别简单，由顶部和底部的两个 n-边形组成，中间由一条 2n 个等边三角形的带状区域分隔，两个 n-边形偏移了一个带状区域的段长。

反棱柱的对偶是偏方面体。

与反棱柱骨架相对应的图，不出所料，被称为反棱柱图。

边长为 a 的正 n-边形的弓形高为

s=1/2atan(pi/(2n)).
(1)

设 d 为直立反棱柱顶部和底部底面距离为 h 时的侧棱长度，则

s^2+(1/2a)^2+h^2=d^2,
(2)

因此

d=1/2sqrt(4h^2+a^2sec^2(pi/(2n))).
(3)

对于等边反棱柱 d=a，因此求解 h 得到

h=sqrt(1-1/4sec^2(pi/(2n)))a.
(4)

考虑高度为 h 和底面外接圆半径为 R 的单位等边反棱柱。 则外接圆半径 R_(circ) 由下式给出

R_(circ)=sqrt((1/2h)^2+R^2)
(5)
=1/4sqrt(4+csc^2(pi/(2n)))a,
(6)

其中

R=1/2csc(pi/n)a
(7)

是其中一个底面的外接圆半径。

正四面体可以被认为是退化的 2-等边反棱柱，而高度为 sqrt(6)a/3（边长为 a）的 3-等边反棱柱就是正八面体。 然后，对于 n=3, 4, ... 产生等边反棱柱的前几个高度 h_n 是

h_3=1/3sqrt(6)a
(8)
h_4=2^(-1/4)a
(9)
h_5=sqrt(1/(10)(5+sqrt(5)))a
(10)
h_6=sqrt(sqrt(3)-1)a
(11)
h_8=sqrt(sqrt(5+7/2sqrt(2))-1-sqrt(2))a.
(12)

直立 n-角反棱柱的表面积为

S=2A_(n-gon)+2nA_Delta
(13)
=2[1/4na^2cot(pi/n)]+2n(1/2a)sqrt(s^2+h^2)
(14)
=1/2na[acot(pi/n)+2sqrt(h^2+1/4a^2tan^2(pi/(2n)))].
(15)

对于等边反棱柱，这简化为

S=1/2n[cot(pi/n)+sqrt(3)]a^2.
(16)

然后，n=3, 4, ... 的等边反棱柱的表面积为

S_3=2sqrt(3)a^2
(17)
S_4=2(1+sqrt(3))a^2
(18)
S_5=1/2(5sqrt(3)+sqrt(25+10sqrt(5)))a^2
(19)
S_6=6sqrt(3)a^2
(20)
S_8=4(1+sqrt(2)+sqrt(3))a^2.
(21)
AntiprismLengths

为了找到直立反棱柱的体积，按照上图标记顶点。 然后，向量 v_1 和 v_2 由下式给出

v_1=(-s,1/2a,h)
(22)
v_2=(-s,-1/2a,h),
(23)

因此，到一个侧面平面的法线是

n=v_1xv_2=(ah,0,as),
(24)

单位法线是

n^^=(v_1xv_2)/(|v_1xv_2|)=((ah)/(sqrt(a^2(h^2+s^2))),0,(as)/(sqrt(a^2(h^2+s^2)))).
(25)

顶点在中心，底面是由 x_1 和 x_2 确定的三角形的金字塔的高度，由从原点到平面上一点的向量在法线上的投影给出，

h_(pyr)=u^^·(R-s,-1/2a,1/2h)
(26)
=u^^·(R-s,1/2a,1/2h)
(27)
=u^^·(R,0,1/2h)
(28)
=(a^2hcot(pi/(2n)))/(4sqrt(a^2[h^2+1/4a^2tan^2(pi/(2n))])).
(29)
AntiprismVolume

因此，以侧面为底面的 2n 个金字塔的总体积是

V_(pyr)=(2n)[1/3h_(pyr)(1/2asqrt(s^2+h^2))]
(30)
=1/(12)a^2hcot(pi/(2n)).
(31)

对于等边反棱柱的情况，代入上面的 h 得到

V_(pyr)=1/(12)ncot(pi/(2n))sqrt(1-1/4sec^2(pi/(2n)))a^3.
(32)

以上下表面为底面的两个金字塔贡献的体积为

V_(base)=2(1/3)(1/2h)[1/4na^2cot(pi/n)]
(33)
=1/(12)na^2hcot(pi/n).
(34)

再次使用上面的 h 并结合这两个体积，得到等边反棱柱的总体积为

V=1/(12)n[cot(pi/(2n))+cot(pi/n)]sqrt(1-1/4sec^2(pi/(2n)))a^3.
(35)

因此，前几个等边反棱柱的体积由下式给出

V_3=1/3sqrt(2)a^3
(36)
V_4=1/3sqrt(4+3sqrt(2))a^3
(37)
V_5=1/6(5+2sqrt(5))a^3
(38)
V_6=sqrt(2(1+sqrt(3)))a^3.
(39)

另请参阅

反棱柱图, 侧旋拉长棱锥, 八面体, 棱柱, 平截头体, 正方反棱柱, 偏方面体

使用 探索

参考文献

Ball, W. W. R. and Coxeter, H. S. M. "Polyhedra." Ch. 5 in Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. New York: Dover, p. 130, 1987.Coxeter, H. S. M. Introduction to Geometry, 2nd ed. New York: Wiley, p. 149, 1969.Cromwell, P. R. Polyhedra. New York: Cambridge University Press, pp. 85-86, 1997.Pedagoguery Software. Poly. http://www.peda.com/poly/.Pegg, E. Jr. "Perfect and Almost Perfect Rings (Chains) of 4-Antiprisms." https://community.wolfram.com/groups/-/m/t/2451238.Webb, R. "Prisms, Antiprisms, and their Duals." http://www.software3d.com/Prisms.html.

在 上引用

反棱柱

引用为

Weisstein, Eric W. "反棱柱." 来自 MathWorld-- 资源。 https://mathworld.net.cn/Antiprism.html

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