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凸多面体

凸多面体可以代数地定义为线性不等式组的解集

mx<=b,

其中 m 是一个实数 s×3 矩阵，b 是一个实数 s-向量。虽然用法有所不同，但大多数作者还要求解是有界的，才能被认为是凸多面体。凸多面体可以通过计算任意点集的凸包来获得。由不等式组定义的表面可以使用以下命令可视化RegionPlot3D[ineqs, {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}, {z, zmin, zmax}]。顶点枚举法 (Fukuda 和 Mizukoshi) 也可以用来直接确定所得多面体的面。

PolyhedronConvex

上面 (Fukuda 和 Mizukoshi) 说明了一个凸多面体的例子。一个更简单的例子是正十二面体，它由一个 s=12 的系统给出。以下表格中给出了明确的例子。

凸多面体smb
正四面体4[ 1 1 1; 1 -1 -1; -1 1 -1; -1 -1 1][2; 0; 0; 0]
立方体6[ 1 0 0; -1 0 0; 0 1 0; 0 -1 0; 0 0 1; 0 0 -1][1; 1; 1; 1; 1; 1]
正八面体8[ 1 1 1; 1 1 -1; 1 -1 1; 1 -1 -1; -1 1 1; -1 1 -1; -1 -1 1; -1 -1 -1][1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1]

一般来说，给定矩阵，可以使用称为顶点枚举的算法程序找到多面体顶点（和面）。

从几何角度来看，凸多面体可以定义为这样一种多面体，即连接表面上任意两个（非共面）点的线段始终位于多面体的内部。仅以正多边形为面的 92 种凸多面体被称为约翰逊多面体，其中包括柏拉图多面体和阿基米德多面体。对于计算一般凸多面体的体积，目前还没有已知的方法 (Grünbaum 和 Klee 1967, p. 21; Ogilvy 1990, p. 173)。

每个凸多面体都可以通过 3-连通平面图（称为多面体图）在平面上或球体表面上表示。反之，根据 Steinitz 定理（Grünbaum 重述），每个 3-连通平面图都可以实现为凸多面体 (Duijvestijn 和 Federico 1981)。凸多面体的顶点数 V、边数 E 和面数 F 由多面体公式关联

V+F-E=2.

另请参阅

阿基米德立体, 凸包, 凸多边形, 凸多联骨牌, 凸多胞形, 三角面多面体, 约翰逊立体, 克卜勒-庞索多面体, 柏拉图立体, 多面体公式, 多面体图, 多面体, 正多面体, 顶点枚举

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参考文献

Duijvestijn, A. J. W. and Federico, P. J. "多面体（3-连通平面）图的数量。" Math. Comput. 37, 523-532, 1981.Grünbaum, B. and Klee, V. CUPM [大学数学课程委员会] 几何会议论文集，第一部分：凸性和应用。Branko Grünbaum 和 Victor Klee 的讲座 (编辑 L. K. Durst)。Math. Assoc. Amer., No. 16, Aug. 1967. http://www.eric.ed.gov/ERICWebPortal/contentdelivery/servlet/ERICServlet?accno=ED024576. Fukuda, K. and Mizukoshi, I. "凸多胞形和排列的顶点枚举包。" http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/440/.Ogilvy, C. S. 几何之旅。 New York: Dover, 1990.Lyusternik, L. A. 凸图形和多面体。 New York: Dover, 1963.Yaglom, I. M. and Boltianskii, V. G. 凸图形。 New York: Holt, Rinehart and Winston, 1961.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

凸多面体

请引用为

Weisstein, Eric W. "凸多面体。" 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ConvexPolyhedron.html

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