代数拓扑

代数拓扑是研究空间对象（例如，曲面、球体、环面、圆、结、链环、构型空间等）的内在定性方面的学科，这些方面在双向连续的一对一（同胚）变换下保持不变。代数拓扑学科通常被称为“橡皮膜几何”，也可以被视为不连通性的研究。代数拓扑拥有大量的数学工具来研究不同类型的洞结构，并且它之所以带有“代数”前缀，是因为许多洞结构最好用代数对象（如群和环）来表示。

代数拓扑起源于组合拓扑，但在 20 世纪 30 年代切赫上同调被发展出来时，可能首次超越了组合拓扑。

一种技术性的说法是，代数拓扑关注的是从拓扑范畴到群和同态的函子。在这里，函子是一种过滤器，给定一个“输入”空间，它们会返回其他东西。返回的对象（通常是群或环）然后是空间洞结构的表示，从某种意义上说，这个代数对象是原始空间样子的遗迹（即，很多信息丢失了，但保留了空间某种“阴影”——刚好足以理解其洞结构的某些方面，但仅此而已）。想法是函子给出了更简单的对象来处理。因为空间本身非常复杂，如果不关注特定方面，就无法管理。