正多面体

如果一个 多面体 的 面 和 顶点图形 是 正（不一定是 凸）多边形，则称该多面体是正多面体（Coxeter 1973, p. 16）。根据这个定义，共有九种正多面体，其中五种是 凸 柏拉图立体，四种是 凹（星状）开普勒-庞索多面体。然而，术语“正多面体”有时专门用于指 凸 柏拉图立体。

可以证明，根据考克斯特的定义，只存在九种正多面体，通过注意到一个可能的正多面体必须满足

戈登证明了方程的唯一解为

形式为 是以下各项的排列组合 和 。这给出了 (3, 3, 4) 的三种排列和 (3, 5, ) 的六种排列作为第一个方程的可能解。代入回算得到可能的正多面体的 施莱夫利符号 为 , , , , , , , , 和 (Coxeter 1973, pp. 107-109)。前五个是 柏拉图立体，其余四个是 开普勒-庞索多面体。

每个正多面体都有 条对称轴，其中 是 多面体棱边 的数量，以及 个对称 平面，其中 是对应 佩特里多边形 的边数。