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交替符号矩阵

交替符号矩阵是一个由 0, 1 和 -1 组成的矩阵，其中每行或每列的元素之和为 1，并且每行和每列的非零元素在符号上交替。下面显示了 n=1, 2, ... 的前几个矩阵

A_1=[1]
(1)
A_2=[1 0; 0 1],[0 1; 1 0]
(2)
A_3=[ 0 0 1; 0 1 0; 1 0 0],[ 0 0 1; 1 0 0; 0 1 0],[ 0 1 0; 0 0 1; 1 0 0],[ 0 1 0; 1 -1 1; 0 1 0],
(3)
[ 0 1 0; 1 0 0; 0 0 1],[ 1 0 0; 0 0 1; 0 1 0],[ 1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]
(4)

这样的矩阵还满足额外的性质，即每行或每列中的 -1 必须在其“外部”有一个 +1（即，所有 -1 都被 +1“包围”）。n×n 交替符号矩阵 A_n 对于 n=1, 2, ... 的数量由 1, 2, 7, 42, 429, 7436, 218348, ... 给出 (OEIS A005130)。

关于 A_n 的数量 A_n 可以由以下公式显式给出的猜想

A_n=product_(j=0)^(n-1)((3j+1)!)/((n+j)!),
(5)

现在已被证明为真，被称为 交替符号矩阵猜想。A_n 可以用 Barnes G-函数 的复杂函数以闭合形式表示，但可能可以进一步简化。

A_n 的递推关系由下式给出

A_n=A_(n-1)(Gamma(n)Gamma(3n-1))/(Gamma(2n)Gamma(2n-1)),
(6)

其中 Gamma(z) 是 伽玛函数。

令 A(n,k) 为在顶行中第 k 个位置出现 1 的 n×n 交替符号矩阵的数量。那么

A_n=sum_(k=1)^nA(n,k).
(7)

结果是

(A(n,k+1))/(A(n,k))=((n-k)(n+k-1))/(k(2n-k-1))
(8)

对于 0<k<n 意味着 (7) (Mills et al. 1983)。

制作一个三角形数组，其中包含在列 k 顶部为 1 的 A_n^' 的数量，得到

1 1 1 2 3 2 7 14 14 7 42 105 135 105 42
(9)

(OEIS A048601)，并且取相邻项的比率得到数组

2/2 2/3 3/2 2/4 5/5 4/2 2/5 7/9 9/7 5/2
(10)

(OEIS A029656 和 A029638)。这些分子和分母分别是 (2, 1)- 和 (1, 2)-帕斯卡三角形中不同于 1 的数字，这一事实被称为 精细交替符号矩阵猜想。

另请参阅

交替符号矩阵猜想, 凝结, 降序平面划分, 整数矩阵, 置换矩阵

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参考文献

Andrews, G. E. "Plane Partitions (III): The Weak Macdonald Conjecture." Invent. Math. 53, 193-225, 1979.Bressoud, D. Proofs and Confirmations: The Story of the Alternating Sign Matrix Conjecture. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1999.Bressoud, D. and Propp, J. "How the Alternating Sign Matrix Conjecture was Solved." Not. Amer. Math. Soc. 46, 637-646.Finch, S. R. Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, 第 413页, 2003.Kuperberg, G. "Another Proof of the Alternating-Sign Matrix Conjecture." Internat. Math. Res. Notes, No. 3, 139-150, 1996.Mills, W. H.; Robbins, D. P.; and Rumsey, H. Jr. "Proof of the Macdonald Conjecture." Invent. Math. 66, 73-87, 1982.Mills, W. H.; Robbins, D. P.; and Rumsey, H. Jr. "Alternating Sign Matrices and Descending Plane Partitions." J. Combin. Th. Ser. A 34, 340-359, 1983.Pickover, C. A. "Princeton Numbers." 第 79章，Wonders of Numbers: Adventures in Mathematics, Mind, and Meaning. Oxford, England: Oxford University Press, 页 189-192, 2001.Robbins, D. P. "The Story of 1, 2, 7, 42, 429, 7436, ...." Math. Intell. 13, 12-19, 1991.Robbins, D. P. and Rumsey, H. Jr. "Determinants and Alternating Sign Matrices." Adv. Math. 62, 169-184, 1986.Sloane, N. J. A. Sequences A005130/M1808, A029638, A029656, A048601, and A050204 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Stanley, R. P. "A Baker's Dozen of Conjectures Concerning Plane Partitions." In Combinatoire Énumérative. Proceedings of the colloquium held at the Université du Québec, Montreal, May 28-June 1, 1985 (Ed. G. Labelle and P. Leroux). New York: Springer-Verlag, 页 285-293, 1986.Zeilberger, D. "Proof of the Alternating Sign Matrix Conjecture." Electronic J. Combinatorics 3, No. 2, R13, 1-84, 1996. http://www.combinatorics.org/Volume_3/Abstracts/v3i2r13.html.Zeilberger, D. "Proof of the Refined Alternating Sign Matrix Conjecture." New York J. Math. 2, 59-68, 1996.Zeilberger, D. "A Constant Term Identity Featuring the Ubiquitous (and Mysterious) Andrews-Mills-Robbins-Rumsey numbers 1, 2, 7, 42, 429, ...." J. Combin. Theory A 66, 17-27, 1994.

在 Wolfram|Alpha 上引用

交替符号矩阵

请引用为

Weisstein, Eric W. “交替符号矩阵。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/AlternatingSignMatrix.html

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